代数群とKac-Moody群の研究、およびその応用

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540005
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 森田 純 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (20166416)
• Keywords: 代数群 / kac-Moody群 / 拡大アフィンLie代数 / 局所拡大アフィンLie代数 / 準結晶 / タイル張り / 一意分解環 / Gauss分解

Research Abstract

大きく4つの研究成果が得られた。一つ目は、無限次元代数群であるところの、アフィン型Kac-Moody群理論の応用として、mullity2の拡大アフィンLie代数に付随する群に関するBruhat分解、群表示、普遍中心拡大などの構造論研究を完成させたことである(to appear, Tokyo J.Math.)。本研究課題で継続的に研究を進めていたが、最終的に目的を達成することができた。二つ目は、準周期構造に付随する代数系として、Lie代数および群が非常に豊かな実りある数学構造あることを立証することができたことである。1次元の準結晶やタイル張りに対して、Lie代数と群を対応させ、それぞれに加法的Gauss分解および(乗法的)Gauss分解が存在することを示した。Gauss分解は連立1次方程式の消去法の名前の由来があるが、それの群論的解釈が半単純代数群の構造論で明確にされ、またそれがKac-Moody群に対してまで見出されてきた。その非常に良い性質が、全く予期されて来なかった配列構造に付随する代数系の中に見出されたことになり、今後の更なる発展が楽しみな研究成果である。三つ目は、一意分解環上のLie代数と群に関して、新しい見地から多数の共役性定理を提示したことである。研究経過は国際学会報告で発表され、非常に良い評価を受けた。四つ目は、局所拡大アフィンLie代数の構造論を解明し、カッツ予想の証明を最終的に完成させたことである。これは、本研究課題の中で継続的に進められてきたが、遂に成功裏に研究目的を達成することができた(in press, J.Algebra)。