Expansion of numerical verification methods for functional equations

2020 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15H03637
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Foundations of mathematics/Applied mathematics
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: Watanabe Yoshitaka 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 木下 武彦 京都大学, 健康長寿社会の総合医療開発ユニット, 特定講師 (30546429)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 非線形関数方程式 / Navier-Stokes方程式 / 非線形偏微分方程式 / 有限要素法 / 射影近似と誤差解析 / 不動点定理

Outline of Final Research Achievements

We conducted research on the theory, application, and method of "numerical verification method" or "computer-assisted proof" that provides mathematical and exact guarantees for computer calculations of differential equations and other functional equations used to scientifically describe natural phenomena.

We have successfully obtained an efficient approach of the invertibility estimation of linear operators and the its inverse operator norm with optimal upper bound in a general functional space. We have also established a framework for rigorous computer verification of the existence or uniqueness of solutions to nonlinear functional equations based on this estimation.

Free Research Field

数値解析

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

非線形関数方程式、特に非線形偏微分方程式を統一的に扱う数学理論は現在のところ存在しません。そのため、解を解析的に導くことを回避したコンピュータによる近似計算が多く行われています。しかし、計算結果には誤差の混入が不可避です。本研究の成果は、解析解とコンピュータによる近似計算の間に横たわる誤差を数学的に厳密に取り扱うことを可能とするだけでなく、未解決であった非線形関数方程式の解の存在検証を可能にする意義を持つと考えます。