2016 Fiscal Year Annual Research Report
写像類モノイドとファイバー構造の改変操作を用いた接触多様体の研究
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15J05214
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
大場 貴裕 東京工業大学, 大学院理工学研究科(理学系), 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 接触多様体 / オープンブック分解 / 写像類群 / Lefschetzファイバー空間 / Stein領域 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、オープンブック分解やLefschetzファイバー空間という多様体のファイバー構造を介し、写像類群の情報により接触多様体やそのStein充填、Stein領域の性質を解明することにある。今年度は、(1) Stein構造が誘導する接触構造とスピンc構造の関係の研究、(2) 高次元接触多様体とそのStein充填に関する研究、の２つの研究を完成させた。
(1) 本研究はCagri Karakurt氏（Bogazici大学）と浮田卓也氏（東京工業大学）との共同研究である。Lisca氏とMatic氏、Plamenevskaya氏らにより、同じ4次元多様体上に２つのStein構造があった時、それらが誘導するスピンc構造が非同型であれば、Stein構造が誘導する境界上の接触構造たちのOzsvath-Szabo不変量は異なることが示されている。我々は、この結果の逆が成り立たない例をコルクと呼ばれる4次元多様体を用いて構成した。
(2) 無限個のStein充填を持つ３次元接触多様体が2000年代初頭にStipsicz氏とOzbagci氏により構成された。この構成はオープンブック分解、Lefschetzファイバー空間を用いたものであった。本研究ではそれらのファイバー構造の高次元版を用いることにより、無限個のStein充填を持つ4n-1次元接触多様体を構成した。これは、高次元オープンブック、Lefschetzファイバー空間を、高次元多様体の写像類群の組合せ群論的手法により具体的に扱った初めての研究でもある。
なお、２つの研究結果は論文にまとめ、１つ目がTopology and its Applications誌から出版され、もう一方がTransactions of American Mathematical Society誌に出版受理された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度はStein充填可能である接触多様体に適合するオープンブック分解で，右手デーンツイストの積に分解できないモノドロミーを持つものの構成を目指していた。考察するべき曲面を種数1に制限したが、そのような例は構成できなかった。しかし、種数1の曲面をファイバーとするLefschetzファイバー空間を許容するStein領域が楕円曲面E(n)をブローアップした閉4次元多様体に埋め込まれることがわかった。これは次年度に引き続き行う構成の足掛かりとなる重要な考察である。
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| Strategy for Future Research Activity |
目標に修正を加える。種数1の境界つき曲面をファイバーとするLefschetzファイバー空間を許容しないStein領域の構成を新たな目標とする。接触構造が種数1の曲面をページとするオープンブック分解に適合しているとする。もしそのモノドロミーが右手デーンツイストの積として表示できる場合、その表示からLefschezファイバー空間を介しStein充填が与えられる。設定した目標にあるStein領域が構成されていれば、その境界が種数1のオープンブックに適合する場合、そのオープン分解が右手デーンツイストの積による表示を持つかどうかの判定に有効である。また、この目標はサポート種数問題という接触トポロジーにおけるオープンブックの重大な問題とも密接に関わっている。具体的には、まず種数2以上の閉Riemann面上の円盤束から考察する。特にその束のEuler数が-1のときに、種数1のLefschetzファイバー空間を許容しないことがMassot氏により予想されている。また、境界上の接触構造が種数1のオープン分解に適合するかも考察する。この例から考察し始め、それができれば、他のEuler数の場合に関しても考察する。
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Research Products
(17 results)
