2016 Fiscal Year Annual Research Report
曲面のスケイン代数、ゴールドマン・リー代数および写像類群の相互関係の研究
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15J05288
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
辻 俊輔 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | スケイン代数 / 写像類群 / 有限型不変量 / カウフマン・ブラケット / HOMFLY-PT多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
スケイン代数を用いて２次元のトポロジーの研究と３次元のトポロジーの研究を結びつける研究をしている。スケイン代数は２次元トポロジーにおいては、ゴールドマン・リー代数を深化させた対象と思うことができる。また３次元トポロジーにおいてはカウフマン・ブラケットやHOMFLY-PT多項式といった多項式絡み目不変量をハンドルボディの絡み目の研究に拡張したものとみなすことができる。スケイン代数の２次元トポロジーと３次元トポロジーの二つの見方により、２次元トポロジーと３次元トポロジーの研究を行った。
一年目の研究では、カウフマン・ブラケット・スケイン代数におけるデーン・ツイストの公式を用いて、トレリ群から完備化されたカウフマン・ブラケット・スケイン代数への埋め込みを構成した。この埋め込みは次の二つの意味を持つ。一つ目は、写像類群に正規部分群からなる新しいフィルトレーションを入れることができたことである。二つ目は整係数ホモロジー3-球面の不変量の構成ができたことである。
１年目の研究を踏まえて、２年目の研究では、次の二つの研究を行った。一つ目は、カウフマン・ブラケット・スケイン代数で一年目に構成したホモロジー３球面の不変量の構成を用いて、２次元トポロジーの研究対象であるトレリ群と３次元トポロジーの研究対象であるキャッソン不変量との関係を明らかにした。具体的には、スケイン代数を用いて、ある状況でキャッソン不変量の公式を得た。二つ目は、カウフマン・ブラケット・スケイン代数で行った研究のアナロジーとしてHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数において研究を行った。特にHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数でデーン・ツィストの公式を得たことは、２次元トポロジーにおいても３次元トポロジーにおいても大きな進展になった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究で、HOMFLY-PTスケイン代数におけるデーン・ツィストの公式は２次元トポロジーにおいても３次元トポロジーにおいても重要な成果になった。以下、これらの研究成果の意義を説明する。
HOMFLY-PTタイプ・スケイン代数はHOMFLY-PT多項式を定義するスケイン関係式を用いて定義したスケイン代数である。河澄-久野、マシュヨ-テュラエフのゴールドマン・リー代数の研究や、カウフマン・ブラケット・スケイン代数の研究で中心的役割をするデーン・ツィストの公式をHOMFLY-PT多項式でもデーン・ツィストの公式を与えた。HOMFLY-PT多項式においても、デーン・ツィストの公式は中心的な役割をする。このデーン・ツィストの公式を用いて、トレリ群から完備化されたHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数への埋め込みを構成した。この埋め込みは２次元トポロジーの研究と３次元トポロジーの研究に応用を持つ。
トレリ群から完備化されたHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数への埋め込みの２次元トポロジーの研究の応用を説明する。HOMFLY-PTタイプ・スケイン代数を近似することにより、リー双代数の構造を持つ。このHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数のリー双代数の構造はゴールドマン・リー・双代数を精密化した構造を持つ。ジョンソン準同型の像の研究にこの精密化を用いることができると期待している。
トレリ群から完備化されたHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数への埋め込みの３次元のトポロジーの研究の応用を説明する。この埋め込みを用いて整係数ホモロジー3-球面の不変量の構成をすることができた。この不変量は２変数により定義される不変量で新しい不変量である。さらに、この不変量は葉廣氏とタン・レ氏によりsl(n)を用いて構成された整係数ホモロジー3-球面の不変量全ての情報を持つと期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
１年目、２年目の研究をふまえて、３年目では本研究の集大成として次の３つの研究を行う。１つ目は、２年目の研究で得られたHOMFLY-TPタイプ・スケイン代数により得られたゴールドマン・テュラエフ・リー余代数の拡張について具体例を計算する。２つ目は、１年目にカウフマン・ブラケット・スケイン代数で定義した整係数ホモロジー球面の不変量を(2,n)トーラス・ノットのデーン手術で得られる整係数ホモロジー球面で計算する。３つ目は、２年目の研究で得られたキャッソン不変量の公式を高位数の有限型不変量に拡張する。これらの研究は１年目、２年目により得られた研究成果を応用し他分野につなげる研究である。以下これらを説明する。
１つ目の研究は、HOMFLY-PT多項式不変量で得られたゴールドマン・テュラエフ・リー余代数の拡張を２次元トポロジーに応用する研究である。具体的にはジョンソン準同型の新たな障害が発見できると期待している。
２つ目の研究は、カウフマン・ブラケット・スケイン代数を用いた整係数ホモロジー球面の不変量の構成を用いて(2,n)トーラス・ノットの有限型不変量を求める研究である。(2,n)トーラス・ノットの有限型不変量は位数２までは、公式が得られているがそれ以上は求められていない。本研究の応用として、位数３、位数４の有限型不変量の公式を得る。
３つ目の研究は、カウフマン・ブラケット・スケイン代数を用いて２次元トポロジーの研究と３次元トポロジーの研究を結びつける研究である。写像類群と位数１の有限型不変量の研究は森田氏により行われたが、それ以降あまり大きな進展がなかった。しかし、本研究で行った研究手法は写像類群と位数２以上の有限型不変量の研究を可能にする。
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Research Products
(8 results)
