2016 Fiscal Year Annual Research Report
Ｃａｌａｂｉ－Ｙａｕ多様体の保型性予想とその精密化に関する研究
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15J05818
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
平川 義之輔 慶應義塾大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | Calabi-Yau多様体 / K3曲面 / 保型形式 / 標準積商 / 2重平面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず、平成27年度までに得られた成果を改良することに成功した。平成27年度までに扱った保型形式は、素数2が惰性的でない虚2次体のHecke指標から構成されるものに限られていた。これは証明において生じた障害を避けるための技術的な仮定であり、本研究の最重要課題である「幾何学的実現問題の解決」という観点からは、取り除かれることが望ましい。平成28年度は、この技術的な仮定を完全に取り除くことで、扱える保型形式のクラスを拡張することに成功した。
次に、本研究におけるもう1つの課題である「従来の保型性予想や幾何学的実現問題より精密な予想の定式化」に向けて、K3曲面の幾何的性質が保型形式の解析的性質にどのように反映されるかを調べた。具体的には、射影平面の2重被覆となるK3曲面族を調べた。その結果、ある特殊な対称性を持つファイバーが重さ3の保型形式と対応し、その幾何的な対称性に応じて、対応する保型形式のCM体がQ(√－3)あるいはQ(√－1)であることの証明に成功した。
一方、上記研究から派生した幾何学的な問題にも取り組み、一定の成果を得た。上記の1つ目の成果を得る際には、種数1の代数曲線対の標準積商が持つ対称性が重要である。また、2つ目の成果を得る際には、射影平面の2重被覆の分岐因子 (平面代数曲線) が持つ対称性が重要である。そこで、これらの代数曲線の種数を変えた場合にどのような対称性が生じるかという問題は、幾何学的観点からはとても自然で興味深い問題である。このような動機から、(1) 代数曲線対の標準積商、(2) 射影平面の2重被覆、(3) 3次元射影空間の超曲面、という3種類の古典的な代数曲面のクラスの比較を行い、一定の成果を得た。この3つ目の成果に関しては、3月の出張の際に「プロジェクト研究集会2016」で講演発表し、聴衆の方々から複数のコメントを頂いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
平成27度までに、類数が2冪かつ素数2が惰性的でない虚2次体のHecke指標から構成された重さ奇数の保型形式を、Calabi-Yau多様体のL関数の因子として幾何的に実現することに成功していた。これに対して、平成28年度は、金銅-向井型のEnriques対合を用いることで、虚2次体において素数２が惰性的でないという技術的な仮定を完全に取り除くことに成功した。この成果と平成27年度までの成果とを合わせて論文を執筆中であり、平成29年度中に投稿予定である。
次に、K3曲面の幾何的性質が保型形式の解析的性質にどのように反映されるかを調べるため、平面3次曲線の双対曲線を分岐因子とする射影平面の2重被覆族のPicard極大ファイバー、及び対応する保型形式のCM体の決定に取り組んだ。その結果、ある特殊な自己同型写像を持つファイバーがPicard極大であること、及び対応する保型形式のCM体がQ(√－3)あるいはQ(√－1)であることを証明した。しかし、Picard群に関する計算に困難があり、その他のPicard極大ファイバー、及び対応する保型形式のCM体の決定には至らなかった。
一方、本研究の主対象の1つである積型Kummer曲面は、(1) 代数曲線対の標準積商、(2) 射影平面の２重被覆、(3) 3次元射影空間の超曲面、という3種類の古典的な代数曲面のクラス全てに属する、大変稀有な代数曲面である。これに対して、6月の出張を通じて得た着想を元に、これら3つのクラスの比較に関する一定の成果を得た。この成果は、上記論文とは独立にして論文を執筆中であり、同じく平成29年度中に投稿予定である。
以上のように、今年度得られた成果だけを見ると「おおむね順調に進展している」と言えるが、得られた成果の整理に時間がかかり、論文執筆が遅れている。その点を考慮すると、総合的には「やや遅れている」と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、これまでに扱った保型形式は、類数が2冪の虚2次体から構成されるものに限られている。そこで、扱える保型形式のクラスを拡張することが、今後の1つ目の研究課題である。これに対しては、平成28年度までに得られたテクニックを改良することで、扱える虚2次体の類数を任意の偶数にまで拡張できる目処が立っている。平成29年度はまずこの課題に取り組み、成果をまとめ次第、論文執筆に取り掛かる予定である。
次に、これまでの成果のさらなる改良を目指す上でも、K3曲面の幾何的性質が保型形式の解析的性質にどのように反映されるかを調べることで、従来の予想を精密化することが重要である。そこで、平成28年度に引き続き、射影平面の2重被覆族のPicard極大ファイバー、及び対応する保型形式のCM体を決定することが、今後の2つ目の研究課題である。平成28年度は、この族の特徴的な定義方程式を利用することで、部分的に成果を得ることができた。平成29年度は、このような特徴に加えてその他の族との結び付きにも着目することで、より優れた成果を得られると期待している。
一方、幾何学的実現問題に取り組む上では、重さが偶数の保型形式を奇数次元のCalabi-Yau多様体で実現できるかどうかが重要である。そこで、(1) 代数曲線の “標準” 積商、(2) 3次元射影空間の2重被覆、(3) 4次元射影空間の5次超曲面、などの明示的な定義方程式を持つ3次元Calabi-Yau多様体に対して従来の予想を検証することが、今後の3つ目の研究課題である。その推進方策として、代数曲面の比較に関して得られた定理の3次元における類似の問題に取り組むことを通じて、上記の3次元Calabi-Yau多様体の解析に習熟する予定である。また、この問題は純幾何学的であるにも関わらず、代数曲面の場合と同様に整数論的な手法が有効に機能すると期待している。
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Research Products
(1 results)
