2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15J07608
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
金光 秋博 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | ファノ多様体 / 有理等質多様体 / ネフ接束 / ベクトル束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は, 接束がネフなファノ多様体に関するCampanaとPeternellの予想およびファノ多様体上の豊富ベクトル束について研究した.
森による射影空間の特徴づけの一般化として, CampanaとPeternellは接束がネフなファノ多様体は有理等質多様体であろうと予想した.
有理等質多様体はファノ多様体に関する次の条件を満たす: 勝手な初等的収縮の列に対して, 各収縮は有理等質多様体束. 逆にこのような条件を満たすファノ多様体の分類はCampana-Peternell予想をPicard数が1の場合に帰着することが, Demailly-Peternell-Schneiderの定理から従う. 本年度には, 条件を満たすファノ多様体であってPicard数がn-6より大きいものの分類について論文にまとめ, 投稿中である. この中には等質でない例が含まれる(Ottaviani多様体). またPicard数が1の場合のCampana-Peternell予想についても研究したが, 決定的な結果は得られなかった.
一方で, Ottaviani多様体に関連して, ファノ多様体上の豊富ベクトル束についても研究した. 向井氏は指数rのファノ多様体の一般化として, n次元ファノ多様体と階数rの豊富なベクトル束の対(X,E)であって多様体とベクトル束の第一Chern類が一致するものを考え, 階数が次元以上の場合の分類を予想した. この予想は藤田氏, Peternell, Ye-Zhangらによって解決されている. 階数n-1の場合はPeternell-Szurek-Wisniewskiによって分類されている. 階数n-2の場合はOcchetta-Novelliによってn=4に限っては分類されていた. これらを踏まえ, r=n-2かつn>4の場合の分類を与えた. この内容については投稿準備中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
概要に述べた条件をみたすファノ多様体の分類研究によって, Picard数について帰納的な方法でCampana-Peternell予想に取り組むことが難しいことが明らかになった. 実際Ottaviani多様体は, その接束がネフではないが, 端射線理論の観点から見ると, 接束がネフな多様体と区別がつかない.
またOttaviani多様体に関連する問題であるファノ多様体と豊富ベクトル束の対の分類問題を階数n-2の場合に解決することができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
帰納的な方法でCampana-Peternell予想に取り組むことが難しいことがわかったため, 異なる方法でより一般の場合に取り組むことを考える.
またファノ多様体上の豊富ベクトル束の対の問題は, n=4かつr=2の場合にはNovelli-Occhettaによって分類されていたが, その中にはまだ存在・非存在が明らかになっていない場合がある. その場合を取り扱うことも考えている.
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