2017 Fiscal Year Annual Research Report
ストリングトポロジーとゴールドマン・トゥラエフ・リー双代数の研究
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15J08790
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
内藤 貴仁 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | ストリングトポロジー / 自由ループ空間 / 有理ホモトピー論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Chas, Sullivanにより創始されたストリングトポロジーの理論により，向き付けられた閉多様体の自由ループ空間のホモロジー（以後ループホモロジーと呼ぶ）上には様々な代数構造が発見された。本研究の目的は、ストリングトポロジーの立場からループホモロジーの構造の複雑さを解明する事である。
本年度は、まずループ積の新たな具体的計算例を与える為に、３次特殊ユニタリ群を極大トーラスで割った、最も基本的な完全旗多様体について考えた。これに関する先行研究としては、Burfitt氏による結果がある。彼はpath-loopファイブレーションに付随するLerray -Serreスペクトル系列を用いて、自由ループ空間の整係数ホモロジー環の構造を決定している。一方、私は有理ホモトピー論、特にFelix-Thomas-VigueによるSullivanモデルを用いたループ積の有理モデルを用いて、有理係数ループホモロジー群の完全決定、及びループ積の部分的な計算結果を得る事に成功した。Burfitt氏の結果と比べると有理係数となり得られる情報は落ちるが、有理ホモトピー論の恩恵によりループ積の構造を部分的に決定できた。
次にループホモロジーの複雑性を解明する１つの試みとして、ループ空間に対するChenの反復積分の理論を用いた研究アプローチを行った。Chenの反復積分の理論のアイデアにより、ループ空間のホモロジー群から、完備テンソル代数に適切な微分を定めたチェイン複体のホモロジーへの準同型を構成する事ができる。本研究では、ループホモロジー群のホモロジー類をこの準同型で写した時に、完備テンソル代数のどのような元を与えるかを調べた。その結果、まずこの準同型とHurewicz準同型との関係を明らかにした。つこれにより、あるループホモロジー類を上述の準同型でテンソル表示すると、その長さ１の部分を明らかにした。
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| Research Progress Status |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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Research Products
(6 results)
