2017 Fiscal Year Research-status Report
ガウス写像の値分布論の進展とそれに基づく曲面の大域的性質の研究
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15K04840
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
川上 裕 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (60532356)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ガウス写像 / 極小曲面 / 除外値 / 一意性定理 / カテノイド / 解析的延長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，空間内の曲面の大域的性質を調べる研究方法としてガウス写像の像の性質と曲面の形状との関係を明らかにし，その応用を与えることである。３年目となる平成２９年度は以下の２つの成果を得ることができた。１つは，４次元ユークリッド空間内の完備極小曲面のガウス写像の像の性質の研究の進展である。除外値数の評価についてはこれまでいくつか先行研究があるが，値がいくつ一致すれば写像が決まるかという「一意性定理」については分かっていなかった。そこで，ベトナムの研究者であるファム・フォン・ハ氏との共同研究でその一意性定理を示すことができ，海外の学術誌に発表した。もう１つは，報告者がこれまで得てきた様々な曲面のガウス写像の値分布論的性質に関する成果の総説の英語版を作成し発表したことである。これまでの研究を総説としてまとめたことで，より広い視点での研究が可能となった。また，成果までには至っていないが，次の２つの研究を行った。１つは，３次元ユークリッド空間内の有限全曲率完備極小曲面のガウス写像の除外値数の評価に関する問題の研究である。この問題は長年未解決であるが，ブラジルの数学者たちにより解決したのではないというプレプリントが出され，特異点の理論を用いて研究するという手法の独創性もあって何人かの専門家も交えて検証を行ったが，その手法でこの問題を解決することが難しく，またその手法で既存の結果以上の成果を得ることも難しいことがわかった。もう１つは，３次元ド・ジッター空間内のカテノイドの分類についてである。本研究は梅原雅顕氏，山田光太郎氏，ウェインラスマン氏，國分雅敏氏，藤森祥一氏，そして韓国の研究者であるヤン氏といった方たちと共同研究を行っており，一進一退の研究となっているが,これまでにない新しい視点も得ており，今後の研究の発展が期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の段階で当初の研究計画以上の成果が得られている。今年度はその成果を着実に形にすることができたため，研究がおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は本課題の最終年度のため，これまで取り組んできた研究をより推進し成果としてまとめていきたい。また，一般次元のユークリッド空間内の完備極小曲面のガウス写像の像の研究や新しい値分布論的性質の発見など理解が難しいとされるテーマにも取り組みたい。
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| Causes of Carryover |
研究計画では２年目で海外の国際研究集会で発表する予定であったが，研究が予想以上に進み，研究集会に参加できなくなったため。次年度に共同研究の関係で海外出張をする必要が出てきたので，その際に残額を使用する予定である。
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