Research of special functions associated with moduli spaces of algebraic varieties

2018 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16K05086
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: Matsumoto Keiji 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30229546)
• Research Collaborator: TERASOMA Tomohide 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50192654) ; KANEKO Jyoichi 琉球大学, 名誉教授 (10194911) ; OHARA Katsuyoshi 金沢大学, 理工学域, 教授 (00313635)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 超幾何微分方程式系 / モノドロミー表現 / ねじれホモロジー群 / ねじれコホモロジー群 / 既約性 / テータ関数

Outline of Final Research Achievements

We introduce a hypergeometric system of differential equations in two variables with rank 9. We give integral representations of solutions forming a basis of a local solution space to this system, and study its monodromy representation, which describes global behavior of solutions to this system.
We study a period map for a 2-dimensional family of K3-surfaces by using Abel-Jacobi map for a family of algebraic curves of genus 2. We express its inverse in terms of theta functions.
We give a new approach to study Lauricella's hypergeometric system F_D by introducing relative twisted (co)homology groups and intersection forms on them.

Free Research Field

特殊関数論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

多変数幾何微分方程式系 Lauricella's F_Dの研究に, 相対ねじれ（コ）ホモロジー群を導入し, 交点理論を整理したことが一番大きな成果である. パラメーターが整数となる場合でも, これらの群上に定まる交点形式を用いて, 解たちがみたす性質を考察することが可能となった.
この研究で得られた理論の統計学や数理物理学への応用や, 解の多重積分表示を有する多変数超幾何微分方程式系や超幾何関数以外の積分表示を有する特殊関数に対する新しい理論展開, 等の研究進展が期待できる.