2018 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of concentration phenomena for nonlinear wave and dispersive equations
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17H02853
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
堤 誉志雄 京都大学, 理学研究科, 教授 (10180027)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
前田 昌也 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40615001)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70507954)
阿部 健 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80748327)
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 初期値問題の非適切性 / 3階分散項付き非線形シュレディンガー方程式 / Raman散乱 / ノルム・インフレーション / Sobolev空間 / 抽象Cauchy-Kowlevsky定理 / 減衰項と外力付きZakharov-Kuznetsov方程式 / グローバル・アトラクター |
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| Outline of Annual Research Achievements |
クリスタル・ファイバーの光信号伝播モデル方程式である，Raman散乱項付き3階分散非線形シュレディンガー方程式に対し，Nobu Kishimoto（数理解析研究所）と共に，周期境界条件の下で初期値問題の適切性を調べた．Raman散乱は，考えている物理系と外部環境がエネルギーをやりとりする役割を果たすため，それが元の物理系にどのような影響を与えるのかは興味深い問題である．特に今年度は，Raman散乱効果が，Raman線形利得近似 (Raman linear gain approximation) によって表される場合を考察した．この場合，Raman散乱項からCauchy-Riemann型偏微分作用素が現れるため，これを用いてSobolev空間では初期値問題が解を持たないような初期関数が存在することを示すとともに，ノルム・インフレーションという非常に強い意味で，初期値に関する解の連続依存性が崩れる結果を証明した．さらに，初期値が解析関数のときは，抽象Cauchy-Kowalevsky定理を適用し，解析関数のクラスで解が存在することも示した．この方程式は，物理学者により沢山の数値計算がなされており，その際初期値としては，ガウスパルスあるいは超ガウスパルスが取られることが多い．今回の研究で，通常のSobolev空間で数値計算は不安定であることが予想される一方で，物理学者がよく用いる初期値では解が存在する理由も明らかになった．
これに加え本年度は，KdV方程式の2次元拡張の一つであるZakharov-Kuznetsov方程式が減衰項と外力を持つ場合に，強グローバル・アトラクターの存在を，Nobu Kishimoto（数理解析研究所）, Minjie Shan（北京大学）と共に研究した．弱位相でのアトラクターはShanが示していたが，それは強位相でもアトラクターであることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
クリスタル・ファイバーの光信号伝播モデル方程式である，3階分散項付き非線形シュレディンガー方程式は，通常の非線形シュレディンガー方程式に高階の分散項と高次非線形項を取り込んだ方程式であり，物理的には自然な設定であり，数値シミュレーションも盛んに行われている．この方程式は様々なタイプの3次非線形項を持つため，数学的に3次非線形相互作用の効果を分類し特徴付けるための格好のモデル方程式と言える．今回，Raman散乱項の影響により，Sobolev空間においては初期値問題の適切性が崩れることを示したことは，重要な進展である．特に，実数直線上で方程式を考えると，初期値問題はSobolev空間において適切となることが先行研究により知られていることから，周期境界条件と実数直線上の問題との大きな相違点である．数値シミュレーションにおいては，通常周期境界条件が設定されるため，この相違は単に数学的な発見にとどまらず，数値シミュレーションを行っている物理学者や工学者にも重要な示唆を与えるものと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
クリスタル・ファイバーの光信号伝播モデル方程式である，3階分散項付き非線形シュレディンガー方程式に対し，初期値問題はSobolev空間の枠組みでは被適切であることが示され，解析関数のクラスでは解の存在と一意性が回復することが分かった．偏微分方程式論の立場からは，次の問題としてSobolev空間と解析関数の空間の中間に位置するGevreyクラスのおいて初期値問題が適切となるか否かを調べることは自然であろう．Raman散乱項からは，Cauchy-Riemann型の偏微分作用素が現れるため，Gevreyクラスでも初期値問題は非適切となることが予想される．それを証明するためには，Gevreyクラスの平滑化効果を証明することが次のステップとなる．また，物理学者や工学者により盛んに数値シミュレーションが行われていることから，解析関数，特にガウスパルスあるいは超ガウスパルスを初期値としたときの，解の時間大域挙動の解明は重要である．さらに，数学的な非適切性の概念は，物理学的には考えている方程式系の不安定性を意味していると考えられるはずであるが，その関係は必ずしも明確ではない．数学における非適切性の概念が自然現象において果たす役割の解明も重要であろう．
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