2020 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of concentration phenomena for nonlinear wave and dispersive equations
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17H02853
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
堤 誉志雄 京都大学, 理学研究科, 教授 (10180027)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
前田 昌也 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40615001)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
阿部 健 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80748327)
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 無限次元ハミルトン系 / ガウス測度の準不変性 / 3次分散項付き非線形シュレディンガー方程式 / リウビル方程式 / フーリエ制限法 / KP II方程式 / 異方的ソボレフ空間 / 大域アトラクター |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度は，フランスの高等師範学校レンヌ校のArnaud Debussche氏とともに，無限次元ハミルトン系によってガウス測度がどのように伝達されるか調べた．数理物理モデルとして現れる非線形波動・分散型方程式は無限次元ハミルトン系と見なせることが多いため，この問題はこれらの方程式に対して，解の性質を統計力学的視点を援用して調べることに相当するため重要な研究である．今回は，3次分散項を持つ非線形シュレディンガー方程式によってガウス測度が伝搬されたとき，その測度が元のガウス測度と互いに絶対連続となるかどうか，即ち，ガウス測度は3次分散項を持つ非線形シュレディンガー方程式の流れに関し準不変 (quasi-invariant) となるかどうかを調べた．3次分散項を持つ非線形シュレディンガー方程式のエネルギー汎関数の主要部が定符号とはならないので，Gibbs測度を考えることはできない．そのため，ガウス測度が準不変か否かは重要な問題である．今回，Debussche氏との共同研究により，自然な関数空間（ある意味で，最適と考えられる関数空間）において，ガウス測度が準不変になることを証明することに成功した．また，その証明方法は，古典的なリウビル方程式を無限次元に拡張しフーリエ制限法を適用したものであり，他の非線形波動・分散型方程式への応用も期待される．
さらに，KdV方程式の2次元空間への拡張の一つであるKadomtsev-Petviashvili II (KPII) 方程式に対し散逸項を付加して，大域アトラクターの存在を証明した．(KPII)はx変数とy変数に関し対象ではないため，異方的なソボレフ空間において解を構成する必要があるという困難さがある．今回は，異方的フーリエ制限空間を用いることによりこの困難を克服した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次分散項付き非線形シュレディンガー方程式の流れの下で，ガウス測度の準不変性が示されたことは，この方程式系に対しては時間が経過しても状態分布は特異にならないと言うことであり，大きな研究成果であるといえる．特に，古典的なリウビル方程式にフーリエ制限法を適用する解析手法は自然である．そのためこれからは，今回開発した解析手法を他の非線形波動・分散型方程式への応用するとともに，準不変性から，3次分散項付き非線形シュレディンガー方程式の個別解の性質，あるいは解の集団的性質をどのように導くことができるかという研究に移行することになるであろう．また，2次元ユークリッド空間上のソボレフ空間に対してはコンパクトな埋蔵定理がないため，KP II方程式の大域アトラクターの存在を示すためには弱位相を用いる必要があった．KP II方程式の初期値問題が弱位相に関して適切となるかどうかが問題であったが，平滑化効果を用いることによりこの困難を克服した．しかし，時間大域解が存在する最も広い空間で大域アトラクターが構成できる加藤問題はまだ残っている．この方面への研究も重要であろう．
2020年度は新型コロナウイルス蔓延のため，海外の研究者を招聘したり，海外の研究集会に参加することができなかった．このことから，当初は初期の予定より研究が進まなかったが，オンラインによる講演やディスカッションを導入することにより，徐々に通常の研究活動に近い状態に戻ることができた．しかし，オンラインで話すには難しいトピックスもあり，今後はオンラインと対面の双方を合わせて研究活動を展開していくことが求められる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究方向としては，まず今回開発したリウビル方程式とフーリエ制限法を組み合わせた解析手法を他の非線形波動・分散型方程式への応用するとともに，準不変性から，3次分散項付き非線形シュレディンガー方程式の個別解の性質，あるいは解の集団的性質をどのように導くことができるかという研究が考えられる．さらに，KP II方程式の大域アトラクターの存在に関しては，時間大域解が存在する最も広い関数空間で大域アトラクターを構成できるか，というのは非常に興味深い問題である．これらの研究を遂行するためには，国内外の専門家との意見交換が必要不可欠である．しかし，2020年度は新型コロナウイルス蔓延のため，海外の研究者を招聘したり，海外の研究集会に参加することができなかった．その一方で，最近新型コロナウイルスの疫学的情報がかなり正確に分かってきたため，社会全体がウイズコロナに方向転換しつつある．このことから，オンラインによる講演やディスカッションだけでなく，小規模研究集会の場合は対面で，大規模研究集会の場合は対面とオンラインを組み合わせたハイブリッド型で開催することにより，意見交換を円滑化したい．オンラインで話すには難しいトピックスもあるため，ハイブリッド型研究集会は研究を推進するために役立つことが期待される．
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