2021 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of concentration phenomena for nonlinear wave and dispersive equations
| Project/Area Number |
17H02853
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
堤 誉志雄 京都大学, 国際高等教育院, 特定教授 (10180027)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
前田 昌也 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40615001)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
阿部 健 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80748327)
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 関数方程式論 / 関数解析 / フーリエ解析 / 非線形波動・分散型方程式 / 初期値問題の適切性 / 運動論的微分シュレディンガー方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
研究分担者の岸本展氏とともに，運動論的微分シュレディンガー方程式に対し初期値問題の適切性（解の存在，一意性，初期値に関する解の連続依存性の3つをあわせた概念）を周期境界条件の下で研究した．運動論的微分シュレディンガー方程式とは，微分シュレディンガー方程式にヒルベルト変換が作用した微分3次非線形項が加わった方程式である．微分シュレディンガー方程式は完全可積分であることから関数解析的手法のみならず逆散乱法による研究も多数ある．その一方で，運動論的微分シュレディンガー方程式はヘイルベルト変換が付くことにより完全可積分性がくずれることと，あるパラメータの範囲では非線形項が散逸性を持つことが知られている．微分シュレディンガー方程式に対しては，ある種のゲージ変換を施してからフーリエ制限法を適用することが有用である．しかし，運動論的微分シュレディンガー方程式では，ヒルベルト変換が作用しているため，そのゲージ変換がうまく働かないという困難が生じる．本研究では，この困難を克服するために，ヒルベルト変換が作用した微分3次非線形項が散逸性を持つパラメータの範囲内で，微分シュレディンガー方程式で知られていたよりも広い関数空間において初期値問題の適切性が成立することを証明した．
具体的には，ヒルベルト変換が作用した微分3次非線形項から1階の楕円型作用素が現れ，それが平滑化効果を生むことを発見した．しかし，その楕円型作用素の係数は解の2乗積分ノルムであるため，方程式は半線形発展方程式ではなく準線形発展式となり扱いが難しくなる．そこで，Molinet and RibaudがKdV-Burgers方程式に適用した，シュレディンガー部分の分散効果と1階楕円型作用素の散逸効果を組み合わせたフーリエ制限ノルムを使うことにより準線形性から生じる困難を克服した．
|
| Research Progress Status |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
|
