2018 Fiscal Year Annual Research Report
Rigidity of actions of Lie groups
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17J00910
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
丸橋 広和 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 葉層構造のde Rhamコホモロジー / Lie環のコホモロジー / Lie群の作用の変形 / 葉層構造の変形 / ユニタリ表現 / 小平-Spencer理論 / Nash-Moserの陰関数定理 / Kostantのcubic Dirac operator |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度発見したものは主にsl(2,R)の場合に相当するものであった。今年度はそれを一般の半単純Lie環に一般化することを試みた。本研究はいくつかの部分から構成されており、それぞれについて一般化を行う必要がある。
まずsl(2,R)のときに扱っていた葉層構造を次に述べる葉層構造Fに一般化した。Gを連結Lie群、ΓをGの離散部分群、HをGの閉部分群、MをHの閉部分群で、Γ＼G→Γ＼G/Mが主M束になるものとする。Hの右掛け算によるΓ＼Gへの作用の軌道葉層をΓ＼G/Mに落としたものは葉層構造になる。この葉層構造がFである。
次にFのde Rhamコホモロジーを考えるために平坦部分F接続を構成した。h, mをH, MのLie環とする。qをh=m\oplus qを満たすhのAd(M)不変部分Lie環、Vを有限次元(h,M)加群とする。このとき主M束Γ＼G→Γ＼G/MのVに付随したベクトル束Γ＼G×_MVに平坦部分F接続∇が定まることを示した。
したがって∇に関するFのde RhamコホモロジーH*(F;Γ＼G×_MV,∇)を考えることができる。これが(h,M)加群のコホモロジーH*(h,M;C∞(Γ＼G)\otimes V)と同型になることを示した。これは松島の同型に似ている。ここまではGはなんでもよい。
次にGのLie環gがso(n+1,1)と同型であるとし、HをGの極小放物型部分群MAN, 上のMをMANのM, qをANのLie環an, manをMANのLie環とし、Vを1次元(man,M)加群とする。この場合に第1のHodge分解に使う作用素δを構成し、dδ+δdを計算した。またgがsu(n,1)と同型なときにも同様の作用素を構成したが、dδ+δdの計算結果によりそれは当初の目的には使えないものであることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度sl(2,R)のときに発見した2段階のHodge分解をより一般の単純Lie環に一般化することは当初の予想よりも簡単ではなかった。最初に行っていた計算の方法ではsl(2,R)の次に簡単なsl(2,C)で計算を行うのがほぼ限界であったが、その後の進展により一般の半単純Lie環で計算を行うことが可能になった。これは構成した作用素δを次数によらず一括して扱い始めたことや計算の道具としてClifford代数を使い始めたことによる。さらに物理的な道具として通常のノートではなくiPad Proを使い始めたことも、極めて項数の多い計算をする上で本質的に役に立ったと言える。su(n,1)のときに得られる公式が第1のHodge分解を行うのに使えないということも分かった。
sl(2,R)のときに扱っている葉層構造が一般の場合にどう一般化されるかについて当初誤った予想をしていたが、sl(2,C)の次に簡単なso(4,1)の場合の計算をすることによって考えるべき正しい葉層構造が特定できた。sl(2,R)の場合、葉層構造のde RhamコホモロジーをLie環のコホモロジーとしてみて計算することが最初の重要なステップであった。このステップはsl(2,R)のときは簡単なものであったのですぐにできると思っていたが、一般化するとそれなりに非自明なものになった。これは松島の同型の類似のようなものとみなせるが、共通する部分はない。
またかなりの時間をかけて表現論の関係している部分に関して知識の収集をした。そこで得られた知識は参考にはなっているが、まだ直接役には立っていない。しかし次に第2のHodge分解について考えるときの役に立つのではないかと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究終了後からこの報告を書くまでの間に第1のHodge分解に関する研究がほぼ完成したのでそれを踏まえて書く。第1のHodge分解の完成によって分かったことは、この理論を適用するためにはgの単純因子はso(n+1,1)と同型でなければならないということである。
まず第一にやるべきことは次のことである。manの自明係数のコホモロジーを計算するコチェイン複体C*(man)の微分をdとする。このときラプラシアンdd^\top+d^\top dの固有値と固有空間について調べる。これは第1のHodge分解を適用するために必要となる。sl(2,R)とsl(2,C)の場合はすでに計算してあるが、nが3以上のso(n+1,1)の場合はまだである。
またPSL(2,R)のとき葉層構造の変形を調べるための準備が大体整ったと思うのでそれらを整理して論文に追加する。同時にどの部分が他のLie群に一般化できるか検討したい。
次により本質的に分からないものとして、sl(2,R)のときにしかできていない第2のHodge分解を他の単純Lie環に一般化できるか検討する。sl(2,R)のときにはn不変超関数というものを使って第2のHodge分解を構成した。それはFlaminio-Forniによるn不変超関数の計算に基づいている。一般の場合はJaquet moduleというものが使えないか検討する。sl(2,R)の場合は考えるべき表現は1つにしぼられるが、その他の場合は無限個の表現を扱わなければならない。もし第2のHodge分解ができればコホモロジーが計算されるはずなのでそれを用いて葉層構造の変形についても考察する。
第1のHodge分解の完成によって例えばsu(n,1)の場合第1のHodge分解ができないということがわかったが、su(n,1)の場合その他の方法でコホモロジーを計算できないか考える。
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