2017 Fiscal Year Annual Research Report

ファイバー束の特性類

Research Project

Project/Area Number	17J01757
Research Institution	Tokyo Institute of Technology
Principal Investigator	松雪敬寛東京工業大学, 理学院, 特別研究員(DC2)
Project Period (FY)	2017-04-26 – 2019-03-31
Keywords	特性類 / ファイバー束 / ホモトピー代数 / グラフ複体 / シンプレクティック導分 / Chen展開
Outline of Annual Research Achievements	本研究は、ホモトピー代数モデルの変形を用いてファイバー束の特性類を構成し、非自明性及び既知の特性類やグラフ複体との関連を明らかにすることを目的としている。本年度においては、以下のように研究が進展した: ファイバー束の特性類と深くかかわる自由次数付き微分Lie代数上の導分の成すLie代数のコホモロジーとグラフ複体の関連を与えた。従来、Kontsevichにより、自由Lie代数上のシンプレクティック導分の成すLie代数のコホモロジーの種数に関する極限は、グラフコホモロジーと一致することが知られている. この事実の次数付き微分Lie代数への拡張として、対応するグラフ複体と新しい微分を与えることで、その新しいグラフ複体から自由次数付き微分Lie代数上のシンプレクティック導分の成すLie代数のコホモロジーへのチェイン写像を構成した。なお、後者のコホモロジーは球面を境界にもつ多様体をファイバーとする単連結束の特性類を与えていることが知られている。また, これは次数の低い部分では、Hamilton-Lazarevによるホモトピー代数の特性類を与えていることが分かった。また、これまでの研究により得られた特性類が、曲面束の非安定類を与えることがあるか、という問題を解決するため、シンプレクティック導分の成すLie代数のコホモロジーを計算した。このLie代数の任意の次数における基底を求めるため、特定の生成元に対して関係式を列挙する方法を考案し、プログラムとして実装した。これを用いて、このLie代数のChevalley-Eilenberg複体の基底を効率的に列挙し、次数、重み及び種数の小さい部分ではSp-不変コホモロジーを計算することに成功した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 特性類を構成する研究に関して、これまでの研究で得られていたホモトピー代数を用いた特性類の構成は、他の特性類との関連などを考察するためにはより精密化されなければならないことが分かった。これは当初予想していなかったことであり、この関連研究は遅れをみせることとなったが、構成を見直し、単体的な空間を用いるなど精密化に必要な要素を特定し、この研究に取り組んだ。グラフ複体と導分の成すLie代数との関連は問題なく形になり、具体的な束に対しては特性類に対応するグラフを構成することに成功した。シンプレクティック導分の成すLie代数コホモロジーの計算については、想定より早くプログラミングを必要な範囲で習得でき、計算できたという点において順調であったと言える。
Strategy for Future Research Activity	今後の研究については、問題点となっていた特性類の精密化を中心に推し進める。必要な情報に関しては前年度の研究により把握できた部分が大きいので、これらを材料にして問題解決を図る。グラフ複体に関する結果について、昨年度は講演などにより周知する機会を得られなかったので、今年度に積極的に発表していくとともに、シンプレクティック導分のLie代数コホモロジーとグラフコホモロジーのギャップについて理解を深めていく研究も行う。