2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18J00171
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
江尻 祥 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数的ファイバー空間 / 多重標準束 / 弱正値性定理 / 飯高予想 / 小平次元 / 非分離射 / Abel多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正標数の代数的ファイバー空間を研究した。特に全空間の多重標準束やその順像を重点的に調べた。標数０の場合における多重標準束の順像については、Popa-Schnellのものを始めとするいくつかの研究結果が知られている。多重標準束の順像は連接であるため十分な回数ねじれば大域的に生成されるが、Popa-Schnellはその回数についての具体的な評価を与えた。証明は消滅定理を使うため正標数では機能しない。この結果は強力であり、例えばViehwegのファイバー積を用いた議論と組み合わせることで、Viehwegの弱正値性定理について別証明が得られる。
今回の研究では、正標数の代数的ファイバー空間について以下を証明した。簡単のため生成ファイバーの標準束に豊富性を仮定する。
１．「大域的に生成される」を「弱正である」に弱めれば、Popa-Schnellの結果と同様の評価が得られる。
２．底空間がAbel多様体ならば、弱正値性定理の類似が成り立つ。
これらの結果は一般ファイバーにF純性などの仮定が不要であるという点においても新しい。与えられた代数的ファイバー空間がその仮定を満たすか判定することは難しく、これまでの研究結果を応用する際にはそれが障害の一つになっていたため、仮定を外せたことは有意義である。なお、より一般に滑らかな射影多様体間の分離的とは限らない全射についても、同様の主張を示すことができる。
また、上述の結果を用いて飯高予想に取り組み、底空間が曲線かつ生成ファイバーの標準束が豊富ならば、予想が正しいことを証明した。これまでの研究結果では一般ファイバーがF純特異点のみを持つという仮定が必要だったが、その仮定を外して一般化することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画通りに、弱い仮定の下で飯高予想や弱正値性定理について研究し、新たな結果を示すことができた。そのため、研究は順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も正標数の飯高予想や弱正値性定理に関する研究を行う。今年度の結果を用いて、一般ファイバーに仮定を置かずに、全空間が3次元の場合の飯高予想について考察する。また、今年度の結果を生成ファイバーの標準束が弱い正値性しか持たない場合に拡張できるか調べる。
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