2020 Fiscal Year Annual Research Report
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18J00171
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
江尻 祥 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | アバンダンス予想 / 弱正値性定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は正標数のアバンダンス予想について調べた。アバンダンス予想とは「極少多様体の標準束は半豊富である」ことを主張する予想である。この予想が正しければ極少多様体（標準束がネフ）という数値的な条件から半豊富という幾何学的な性質が従うことになる。そのためこの予想は代数幾何学、特に極少モデル理論において最も大きな問題の１つとされている。予想は現在でも標数によらず多くの場合で未解決である。本年度は正標数において標準束が数値的に自明な場合にアバンダンス予想を研究し、結果として、強F正則特異点のみを持つ多様体に対し、「Albanese射の幾何学的生成ファイバーが強F正則特異点のみを持つ」という条件を仮定したもとで、アバンダンス予想が正しいことを示した。強F正則特異点とはFrobenius射により定義される穏やかな特異点の一種である。上記の条件は正標数特有の病理的現象が起きないようにするためのものである。実際、標数０では特異点の「穏やかさ」が多くの場合に全空間から幾何学的生成ファイバーへ遺伝する。例えば全空間が滑らかであれば幾何学的生成ファイバーもそうである。この性質は正標数では満たされるとは限らない。現に全空間が滑らかでも幾何学的生成ファイバーが正規ですらない例が存在する。
定理の証明にはこれまでの研究で示した弱正値性定理や、PatakfalviとZdanowiczによる、反標準因子がネフな場合のAlbanese射についての研究成果を用いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
条件付きではあるが、計画していた通りに、標準束が数値的に自明な場合のアバンダンス予想を解決することができた。そのため研究はおおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き正標数の代数的ファイバー空間について飯高予想を中心に研究する。標準束や相対標準束の振る舞いについても正値性の観点から調べていく。
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