2019 Fiscal Year Annual Research Report
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18J00379
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
中島 秀斗 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 等質開凸錐 / 等質凸領域 / 概均質ベクトル空間 / 可解Lie群 / ランダム行列 / 不変微分作用素 / Capelli恒等式 / グラフィカルモデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数の函数等式において、ある程度広いクラスの等質開凸錐に対して、函数等式の係数行列が対角化および完備化されること示した。さらに、一般の等質開凸錐においては、その係数行列は各変数に関する行列の積に分解されることを発見した。この結果は、等質開凸錐に単純推移的に作用する分裂可解リー群のテンソル積表現の包絡作用素の実現へ応用できると期待している。
等質なグラフィカルモデルの典型例であるデイジーグラフに関連する行列空間の固有値分布について、Wigner型およびQ-Wishart型というランダム行列を導入し、それらに対する固有値分布の測度関数のStieltjes変換の明示的な公式を得た。Q-Wishart型を定義する際に、等質開凸錐の性質を用いている。以上はPiotr Graczyk教授との共同研究である。
等質開凸錐上の不変微分作用素環に関して、作用する群として等質開凸錐に単純推移的に作用する分裂可解Lie群に制限して考え、この場合における等質開凸錐上の不変微分作用素環は、そのLie群に付随するLie代数上の普遍包絡環と同型になることを示し、さらにその生成系も具体的に構成した。この結果を、非対称な等質開凸錐の典型例である一般化されたVinberg錐に適用して具体的な計算を行うことにより、基本相対不変式がCapelli型の恒等式を満たすことを発見した。ここで用いた手法は、例えばsub-Hunkel行列に関する概均質ベクトル空間に対しても有効であり、本研究がこの概均質ベクトル空間のb-関数の公式に関する予想に対して解答を与えられると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
等質開凸錐に付随する多変数ゼータ関数の函数等式において、その係数行列が各変数の積に分解されるという、それ自体興味深い結果を得た。さらに、チュニジア・ジェルバ島で開催された国際研究集会に参加した際に、その応用に関するヒントも得られた。
等質なグラフィカルモデルの典型例であるデイジーグラフに関連する行列空間において研究成果をあげることができた。それにより、より一般のグラフィカルモデルに関連する行列空間の固有値分布問題に取り組むことが可能となった。
非簡約な等質空間において、Capelli型の恒等式を系統的に得られた。この手法は等質開凸錐とは限らない等質空間あるいは概均質ベクトル空間にも有効であることが判ってきており、新しい研究課題を見出した。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで順調に進展しているので、引き続きこれまでの研究の方策を継続し、等質開凸錐のゼータ関数、等質開凸錐に関連する行列空間の固有値分布問題、非簡約な等質空間上の不変微分作用素環について研究を行う。まずGraczyk氏と共同で、より一般のグラフィカルモデルに関連する行列空間の固有値分布問題に取り組む。6月にフランス・マルセイユで開催予定の「Mathematical Methods of Modern Statistics 2」に参加し、研究成果の発表も行う。また、一般の等質開凸錐におけるCapelli型の恒等式について研究を推進するとともに、等質開凸錐とは限らないもの、例えばsub-Hunkel行列に関連する概均質ベクトル空間についての考察も行う。
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