2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18J00754
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大久保 勇輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 共形場理論 / Macdonald多項式 / 量子トロイダル代数 / スペクトラル双対性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元共形場理論の相関関数と４次元ゲージ理論の分配関数が一致するという、Alday、Gaiotto、Tachikawaによって提唱された対応関係（AGT対応）がある。このAGT対応のq-変形版についての研究を行った。q-変形版のAGT対応はq-変形Virasoro/W代数やDing-Iohara-Miki代数（量子トロイダル代数の一種）を用いて定式化される。Ding-Iohara-Miki代数の表現空間（N重のFock空間のテンソル積）上では、Alba、Fateev、Litvinov、Tarnopolskiyによって導入された良い性質を持った基底のq-類似を取ることができ、それがMacdonald対称関数という直交多項式の一般化になっている。
まず、今年度はこの一般化Macdonald関数の明示公式を与えることができた。この明示公式は、q-変形W代数の遮蔽作用素とある頂点演算子、さらに通常のA型Macdonald関数の組み合わせ論的な明示公式を用いて表示することができる。またこの一般化Macdonald関数の明示公式と多重q-超幾何級数のEuler変換公式を用いて、Ding-Iohara-Miki代数のムカデ作用素（intertwining作用素の合成によって得られる作用素）の行列要素に対する因子化公式を証明することに成功した。この公式はある種のq-変形版AGT予想そのものであり、この公式によってムカデ作用素の４点関数から５次元超対称ゲージ理論の分配関数を再現することができる。さらに、この因子化公式に証明を与えたことで、超弦理論によって示唆されるDing-Iohara-Miki代数に関するスペクトラル双対性を証明することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Ding-Iohara-Miki代数のムカデ作用素はヤング図の組に付随した演算子の無限級数によって実現されるもので、その行列要素を証明することは非常に非自明な結果である。また、q-変形AGT対応には複数の主張が存在するが、この結果はそのうち最も一般的な定理の一つとみなすことができ、本研究課題の目的の一つを達成することができた為。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまず、Affine Macdonald多項式ないし、楕円Macdonald多項式のDing-Iohara-Miki代数に付随した明示公式の構成に着手する。通常のMacdonald多項式も、特定のウエイトを持った表現の上でDing-Iohara-Miki代数のintertwining作用素を組み合わせることによって表示する方法がある。このAffine版ないし楕円版の構成を行う。あるパラメータを特殊化したAffine Macdonald多項式はDing-Iohara-Miki代数のintertwining作用素のループ（トレース）を取ることによって再現できる。まずは、Ding-Iohara-Miki代数の表現を調整し、そのパラメータを特殊化していない場合におけるAffine Macdonald多項式の明示公式の構成を考察する。またAffine Macdonald多項式のPieri公式の構成や、Affine Macdonald多項式の満たす差分方程式を調べる。これらの解析を応用して６次元ゲージ理論の分配関数の代数的な解釈を与えることを目的とする。
このAffine Macdonald多項式ないし、楕円Macdonald多項式は、Ruijsenaars演算子の固有関数問題の解を与えることが期待されている。これらのAffine Macdonald多項式の解析を通して、この固有関数問題の解決も念頭に置く。
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