行列式点過程；離散と連続そして普遍性

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18J20465
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 長田 翔太 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2018-04-25 – 2021-03-31
• Keywords: 行列式点過程 / ベルヌーイ性 / α行列式点過程 / 離散化

Outline of Annual Research Achievements

行列式点過程とは，相関関数と呼ばれる関数族が一つの核関数の行列式で与えられる点過程である．例えばランダム行列，全域一様木，Uniform lozenge tiling，Schur過程など様々な対象に現れる構造である．本研究のテーマは，行列式点過程の性質を離散と連続の両側面から調べることである．
行列式点過程の核関数が平行移動不変である場合には，対応する行列式点過程も平行移動不変となる．連続行列式点過程においては，Poisson点過程との（エルゴード理論の意味での）同型を示した．本研究は，行列式点過程が独立な点過程にどれほど近いかという問題において，tail自明性よりも強い結果であるPoisson点過程との同型を示している．離散行列式点過程においてはLyons-Steifによって示されていたが，本結果はその連続版に当たるものである．一般に行列式点過程は斥力が働く粒子系を表しており，一方でPoisson点過程は独立な点過程である．しかし，これらの対照的な点過程は同型になるということが，本結果における興味深い点である．
証明では，Ornstein-Weissによる同型定理の一般論とツリー表現と呼ばれる離散化を組み合わせることにより，連続行列式点過程の同型問題を離散行列式点過程のBernoulli性に帰着させることで解決した．
また，α行列式点過程と呼ばれる行列式点過程の一般化に対してツリー表現を構成した．これはα行列式点過程とPoisson点過程との同型の証明の前準備となる結果である．Poisson点過程との同型が証明されれば，α行列式点過程のtail自明性は系として従うため，Poisson性は重要な性質であると考えられる．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

連続点過程においては，平行移動不変な行列式点過程に対してPoisson点過程との同型を示した．離散点過程に関しては，まだまだ成果が出ているとは言い難い状況である．一方で，行列式点過程の一般化であるα行列式点過程に対して離散化を構成できた．この離散化は，連続点過程の性質を調べるうえで有用な道具になると考えられるため，全体としてはおおむね順調に進展している．

Strategy for Future Research Activity

連続点過程においては，tail自明性やPoisson性といった，独立な点過程にどれだけ近いかという問題をさらに推し進める予定である．また，一般ラドン測度に対する離散化の構成は次年度以降に持ち越す予定である．
離散点過程においは，実施計画予定通り準Gibbs性の問題を推し進める予定である．また，普遍性については次年度以降に課題を持ち越す予定である．