2019 Fiscal Year Annual Research Report
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18J20465
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
長田 翔太 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 確率論 / 行列式点過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
実軸上の行列式点過程の対数微分の研究を行った．対数微分は点過程の（reduced）Campbell測度の超関数の意味での微分で定義される．また，対数微分は点過程を平衡状態とする無限粒子系を記述する無限次元の確率微分方程式のドリフト項に相当する．対数微分の具体的表示は一般には非自明だが，Gibbs点過程においてはDobrushin-Lanford-Ruelle（DLR）方程式によって，ランダム行列に関連する行列式点過程においては極限形によって具体的表示が知られている．
本研究では，ユークリッド空間上の点過程に対して相関関数の存在と対数微分の存在を仮定すると，点過程の弱い意味でのGibbs性，つまり任意の有限領域におけるPoisson点過程との絶対連続性が従うことを示した．また，同じ仮定の下で，1次元の場合にはその局所密度関数が連続となり，点過程に対応するDirichlet formの可閉性が従うことを示した．さらに，これらの一般論を実ランダム行列に付随する行列式点過程およびその一般化に適用した．これらの結果を論文にまとめた．
無限粒子系において，対数ポテンシャルをもつ点過程や，付随する積分作用素のスペクトルが1を含む行列式点過程の場合は，一般には局所密度関数の具体的表示が非自明である．本研究では，DLR方程式のような局所密度関数の具体的表示を避けて，弱い意味でのGibbs性と局所密度関数の連続性に着目することで無限粒子系のダイナミクスが構成できることを示した．特に1次元系においては強力で，付随する積分作用素のスペクトルが1を含む行列式点過程のクラスに適用した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
連続点過程においては，相関関数と対数微分の存在から弱い意味でのGibbs性が従うことを示した．この弱いGibbs性と局所密度関数の連続性は，無限粒子系のダイナミクスの構成においては準Gibbs性に類する性質である．計画当初は予想していなかったが，この一般論により1次元の行列式点過程におけるダイナミクスの構成の問題が押し進んだ．また，この一般論は離散点過程においても適用できると期待している．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度で得られた結果を元に，離散においては1次元の行列式点過程への応用を目指し，連続においては一般次元の点過程への適用を目指してともに研究を推し進める予定である．
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