2019 Fiscal Year Annual Research Report
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18J21141
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森 隆大 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | intersection measure / intersection local time / 大偏差原理 / Dirichlet形式 / Katoクラス測度 / Sobolev不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度では主に以下の2項目について研究を行った.
1) 2018年度の研究では, 確率過程の緊密性というある種の状態空間のコンパクト性を課した状況下で, 複数の独立なMarkov過程がつくる intersection measure に関する Donsker-Varadhan 型の大偏差原理を示したが, 本年度では非コンパクトな状態空間への拡張を行い, Euclid 空間上の境界の滑らかな非有界領域の上での吸収壁Brown運動や安定過程に対して適切な位相での大偏差原理を得た. これは super-exponential estimate と呼ばれる評価の新しい証明方法の帰結であり, その証明は Chapman-Kolmogorov relation を技巧的に適用した簡潔なものである. これにより非コンパクトな場合の交差現象の解析が大きく前進したと思われる.
2) Intersection measure と滑らかな測度の関係について解析を行った. よく知られた測度のクラスとして Kato クラスと呼ばれるものがあり, ポアンカレ不等式との関連が示されている. 一方で p本の独立な確率過程が交差する必要条件の一つにレゾルベントの一様なp次可積分性があり, この条件は Kato クラスの一種の一般化といえる. L^p-Kato クラスと名付けたその測度のクラスに対して解析を行い、対応する Sobolev 不等式や Dirichlet 空間の L^2p 空間へのコンパクト埋め込み定理を得た. また一つの応用として, L^p-Kato クラスの条件等からそれに対応する intersection measure の時間に関するヘルダー連続性を得た. これは来年度も継続して研究調査を行う.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Intersection measure と滑らかな測度の関係についての解析は, 軌跡の交差という確率論的な性質を Dirichlet 形式と L^p-Kato クラス測度を通じて Sobolev 埋蔵定理という実解析学の性質と関連付けることができたことを表しているため, 今後の研究でも本年度の結果を基礎として実解析学的なアプローチにより intersection measure の性質が解明されることが期待される.
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度は以下の推進方策に則って研究を行う。
1)Intersection measure と滑らかな測度の関係についての解析について, Dirichlet 形式と L^p-Kato クラス測度の解析的な性質を調べ, その結果を intersection measure の性質にフィードバックさせる.
2)昨年度より行っている random interlacement と呼ばれるモデルとそれより得られる intersection measure の解析について, 今年度は確率過程の周遊理論と時間変更の理論を用いた解析を行ったが, 来年度は時間変更に依存しない intersection measure の構成を検討する.
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