2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18J21511
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
鷲見 拳 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | tropical geometry / Riemann-Roch / tropical abelian variety / theta function |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究実績は，トロピカルアーベル曲面に対するリーマン・ロッホの不等式を示し，その内容をarXivと雑誌に投稿し多くの場で研究結果について講演したことである．
研究の目的はトロピカル曲面上でリーマン・ロッホの公式を定式化し示すことであるが，代数幾何学における１次コホモロジー群の次元に対応するものがトロピカル幾何学においては存在しないため，高次元の場合には定式化自体が存在しない．そのため１次コホモロジー群の次元に対応する概念をどう定義するかという問題がある．前述の不等式はその問題への一つのヒントとなっている．また一般次元のトロピカルアーベル多様体上の因子の自己交点数が次元の階乗の整数倍になっていることを示すことにも成功した．これは一般次元のリーマン・ロッホ型の公式の存在を示唆する興味深い結果である．
また，トロピカルアーベル多様体に対してその因子が定める線束の正則切断全体を凸多面体と自然に同一視したときのその凸多面体次元が，因子の階数のDustin Cartwrightによる一般化に一致するという結果は，同氏の一般化を支持する結果となる．
上記についての論文「Tropical theta functions and Riemann-Roch inequality for tropical abelian surfaces」はarXivにて公開しており，雑誌にも投稿中である．また多くの研究集会や勉強会で講演・ポスター発表をし，研究結果がより多くの人に伝わるよう尽力した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度はトロピカル曲面上のリーマン・ロッホについて研究し，トロピカルアーベル曲面上ではリーマン・ロッホ不等式が成り立つことを示した．
トロピカル幾何におけるリーマン・ロッホの定理はMikhalkin-Zharkov，Gathmann-Kerberらによるトロピカル曲線に対する結果が知られているのみであるが，高次元のトロピカル多様体に対するリーマン・ロッホの定理についてはまだ主張自体が定まっていない．
そこでトロピカル曲面に対するリーマン・ロッホの定理を探るべく，扱いやすいトロピカルアーベル曲面についてMikhalkin-Zharkovの論文「Tropical curves, their Jacobians and Theta functions」を参考に調べた．そこで記されたトロピカルアーベル曲面上の線束の切断の扱いをより発展させることで，正則切断全体の空間が凸多面体となることを示し，さらにその凸多面体の次元がDustin Cartwrightにより定義された線束のランクと一致することを示した．これにより，トロピカル曲線上のリーマン・ロッホの公式をトロピカルアーベル曲面で考えたものとして相応しい不等式をえることができた．さらに一般のn次元トロピカルアーベル多様体の因子に対し，その自己交点数がnの階乗の倍数になっていることを示した．これはトロピカルアーベル多様体上でヒルツェブルフリーマン・ロッホの公式が成り立つ可能性を示唆するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度及び修士課程では，トロピカルアーベル曲面上のリーマン・ロッホの不等式を示すことに成功した．またDustin Cartwright氏から高次元のトロピカル多様体上の線束に対する0次コホモロジー群の次元の定義案をいただき、本研究にかかわる助言も頂いた．その助言によりトロピカルアーベル曲面上での結果が大いに強化された一方、予定していたK3曲面上でのリーマン・ロッホの研究は進めることができなかった．
そこで本年度は，トロピカルK3曲面上でリーマン・ロッホ不等式を検討する．トロピカルアーベル曲面では普遍被覆空間からの射影が非常に扱いやすいことを存分に使って研究をしていたが、トロピカルK3曲面に対しては同じ方法をとれないため，トロピカルアーベル曲面に対する研究結
果をそのまま適用するのは難しい．そこでまずトロピカルK3曲面上の線束について調べる．トロピカルK3曲面は近年よく研究されている対象であるが，その上の線束について研究されているものはまだほとんどない．6月を目途に，まずはいくつかの線束を具体的に構成して今後の研究手段を探る．また，並行してトロピカルHodge予想を研究する予定である．Hodge予想とは，射影的代数多様体のHodge類が代数的サイクルで表現されるという予想である．これを研究するにあたり，7月までを目途に先行研究の一つであるFarhad BabaeeとJune Huhによる論文を読み，どうアプローチするかを考える予定である．
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