2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18J21556
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
榎本 悠久 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 多元環の表現論 / 完全圏 / Grothendieck群 / Auslander-Reiten列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、整環の表現論においての完全圏を、主にその不変量であるGrothendieck群の観点から研究した。完全圏とは「短完全列」が指定された圏で、アーベル圏の一般化であり、加群圏のよい部分圏を調べる際に非常に有用な道具である。また完全圏はホモロジー代数を行う統一的枠組みを与え、表現論に限らず、可換環論や代数トポロジーや関数解析など広い分野で用いられる。
当該研究員は、特に「有限型な完全圏」に興味を持って研究している。これは環の表現論における「有限表現型」という概念の自然な拡張であり、また近年盛んである傾理論やCohen-Macaulay表現論などにおいて様々な具体例が存在する。まず当該研究員は、与えられた加法圏上の取りうる完全圏構造を分類し、とくに有限型完全圏のある種の分類を与え、それらを用いて多元環の表現論に種々の応用を与えた。その一つとして、有限型な完全圏ではGrothendieck群の定義関係式が「AR列」と呼ばれる極小な完全列のみで生成されることを示した。これらの内容は雑誌Advances in Mathematicsに掲載され、環の表現論についての最大の国際研究集会であるICRAにおいて発表した。
これの逆、つまり「Grothendieck群の関係式がAR列で生成されている場合に完全圏は有限型か？」という疑問は、多元環上の加群圏のとき成り立つことがButler-Auslanderによって知られている。当該研究員はこれについて完全圏の一般性のもとで取り組み、この主張が成り立つ必要十分条件を与え、その応用として有限次元多元環の加群圏の関手的有限な分解部分圏やある種の整環の場合にこの主張を示すことができた。これについて研究員はプレプリントを公開、雑誌に投稿した(査読中)。またこの成果について研究集会で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Butler-Auslander型の定理「有限表現型であることとGrothendieck群の関係式がAuslander-Reiten列で生成されることが同値である」について、完全圏の文脈で統一的に考察をし、これがなりたつ必要十分条件を与えることに成功した。この応用として、有限次元多元環の加群圏の関手的有限な分解部分圏や、ある種の整環上のCohen-Macaulay加群の圏に対して、Butler-Auslander型定理の成立を示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、完全圏における組成列の一意性（Jordan-Holder型の定理）や、関連してGrothendieckモノイドという完全圏の不変量を研究する。
有限次元多元環上の加群圏においては、Jordan-Holderの定理によりGrothendieck群が有限生成自由アーベル群となるが、研究員はGrothendieck群が自由であってもJordan-Holder型の定理が成り立たない例を多く観察した。そのためGrothendieck群より精緻な完全圏の不変量として「Grothendieckモノイド」という可換モノイドを定義することを考える。このときJordan-Holder性とこのモノイドとの関連を調べる。また道多元環やgentle多元環や中山多元環など、直既約表現が組合せ論的に分類されるような場合に対して、その加群圏の拡大で閉じた部分圏がいつJordan-Holderを満たすかや、Grothendieckモノイドがどう計算されるかについて考察していく。さらに、整環や可換Cohen-Macaulay環の場合について、Cohen-Macaulay加群のなす圏がいつJordan-Holderを満たすか考察し、特に一次元の場合に特徴づけを与えることを目標とする。
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