2019 Fiscal Year Research-status Report
On the complement conjecture for knots in lens spaces
| Project/Area Number |
18K03287
|
|---|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
市原 一裕 日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | トポロジー / 3次元多様体 / デーン手術 / 結び目補空間 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主な研究課題は，これまで様々な研究が進められている3次元球面を拡張する３次元多様体のクラスであるレンズ空間の中の結び目に焦点をあて，結び目理論研究の基礎となる問題「結び目補空間問題：同相な補空間をもつ結び目はいつ同値となるか」にアプローチすることである。特に，先行研究で重要な役割を果たしている，結び目に沿った同値でない矯飾的手術（同相な多様体対を生成するデーン手術）の研究に焦点を当てて研究を進める。
当該年度に得られた主な研究成果は，３次元球面内の結び目が純矯飾的手術（向きまで込めて互いに同相である3次元多様体対を生成する非自明なデーン手術）を許容するための，最もよく知られた結び目の多項式不変量であるジョーンズ多項式に関する必要条件を得たことである。これは，３次元多様体の有限型不変量に関する研究をもとにしたものであり，またキャッソン不変量によるものの一般化とみなせるものである。これを用いて，10交点までのほとんどの結び目について，矯飾的手術予想が正しいことを示すことができた。この結果は，上記のレンズ空間内の結び目についての研究目標に向けて，重要なステップとなりうるものと考えられる。
その他，関連する研究成果として，次の結果を得た。（１）３次元閉多様体が分離的圧縮不可能曲面を含み，かつ強既約ヒーガード分解を許容するとき，そのヒーガード曲面の部分曲面として圧縮不可能曲面が見つかることを示した。（２）３次元球面内の双曲的結び目について，その結び目群の任意の非自明な元に対し，その元を自明化するデーン手術が高々有限個であることを示した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に述べたように，当該年度に得られた主な結果である，３次元球面内の結び目が純矯飾的手術を許容するためのジョーンズ多項式に関する必要条件は，３次元多様体の有限型不変量に関する研究をもとにしたものであり，またキャッソン不変量によるものの一般化とみなせるものである重要なものである。この研究をきっかけに，国内外の研究者による新たな研究の進展が促されている。また，関連する研究成果（１）は，主に３次元多様体のヒーガード分解に着眼したものであり，ヒーガード分解を用いた結び目補空間問題へのアプローチに向けて，技術的に意味があるものと考えている。さらに関連する研究成果（２）では，３次元多様体の双曲構造をもとに，結び目補空間のデーン充填についての研究を行っており，こちらは結び目に沿った矯飾的手術に関する研究への一つのステップと考えられる。一方で，研究目標である「レンズ空間の中の結び目に関する結び目補空間問題」について，ヒーガードフレアホモロジーを用いた研究により，国際的に大きな進展が得られた。このため，次年度以降の研究計画を変更する必要も出てきている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
基本的には研究計画に沿って研究を推進していく予定である。ただし，前述のようにヒーガードフレアホモロジーを用いた最新の研究動向を踏まえ，主に調査研究については計画を変更し，新たな研究の視点を探っていきたい。そのため，海外からの研究者招聘については，一部変更など再検討をする。またコンピュータによる不変量の計算に向けて，研究集会「トポロジーとコンピュータ」の開催に関わるなど，より先進的な研究を取り入れることを考 えている。
|
| Causes of Carryover |
(理由) 最新の研究動向を踏まえて，国際研究集会への参加や，海外からの研究者招聘を含む研究集会の開催について，予定を変更することとした。
(使用計画)
変更した研究計画にあわせて，海外での国際研究集会への参加や，海外からの研究者招聘を再検討する。またあわせて関連する研究集会を開催を検討する。
|
