2019 Fiscal Year Research-status Report
Vertex algebras and 4-dimensional supersymmetric quantum field theories
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19K21828
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
中島 啓 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (00201666)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| Project Period (FY) |
2019-06-28 – 2022-03-31
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| Keywords | 頂点代数 / ４次元超対称性場の量子論 / ゲージ理論のクーロン枝 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
中島とKavli IPMU研究員のMuthiahの、超対称性ゲージ理論のクーロン枝を用いた幾何学的佐武対応予想の共同研究の中で、頂点代数との予期していなかった関連が見つかりつつある。これは、クーロン枝の同変交叉ホモロジーの、トーラス固定点における余茎を、カッツ・ムーディ・リー環の表現により特徴づけるもので、特にアファインA型のときに証明は完成されつつある。
また、この主張は、余茎が頂点代数のコセット模型の表現になっていることを導くことが、荒川により指摘された。特に、レベルが１のときには、W代数とコセットが同型であることが、荒川-Creutzig-Linshawによって知られており、交叉コホモロジーの余茎がW代数の表現になるという、中島とBraverman, Finkelbergの共同研究により証明されているAlday-Gaiotto-立川(AGT)予想の別証明を与える。
荒川とThomas Creutzig、Boris Feignとの共同研究によって、アフィンW代数に対するtranslation関手を導入することに成功した。このtranslation関手はW代数のコセット構成法と密接に関係し、4次元超対称性場の量子論に現れる頂点代数の研究にも重要な応用がある。例えば、高次元の場の理論に現れる頂点代数の一つにBershtein-Feigin-Litvinoの導入したUrod代数がある。このUrod代数はsl_2に対するものだが、コセット構成法とW代数に対するtranslation関手を用いることにより、Urod代数を一般の半単純リー環に付随するものに自然に一般化することができる。さらに、階数が２の層のモジュライ空間の場合にBershtein-Feigin-Litvinoが与えた中島-吉岡のブローアップ公式に対する表現論的解釈を、任意の階数の場合に拡張する手段を与える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
上に述べた頂点代数とクーロン枝の関係は、今まで予想されていなかったものである。
中島や、共同研究者のBraverman, Finkelbergによるクーロン枝を用いた幾何学的佐武対応のカッツ・ムーディ・リー環への拡張の試みにおいては、クーロン枝の交叉コホモロジーの双曲的茎がリー環の表現の構造を持つ、ことが予想されていたが、同変交叉コホモロジーのトーラス固定点における余茎がどういう構造を持つのかは判明していなかった。通常の幾何学的佐武対応においては、余茎は、表現に入るBrylinski-Kostant filtration の定める次数付きベクトル空間になることが知られているが、その証明にはアファイン・グラスマン多様体が随所に使われており、クーロン枝の枠組みの中ではこれを用いることができないからであった。
新しいアイデアは、BK filtration への Ginzburg-Richeによるアプローチをカッツ・ムーディ・リー環の場合に拡張することである。このアプローチにおいては、アファイン・グラスマン多様体を使う部分を回避することができることが期待される。特に、アファインA型のときはこの期待が実現されつつある。
また、この研究においてコセット模型の幾何学的な重要性が見えてきている。
一方、荒川が得たW代数のtranslation関手による、コセット模型への代数的なアプローチも、理解を深めるものとして期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
上に述べた頂点代数とクーロン枝の関係をはっきり確定し、また、その中で重要性が増したコセット構成法について研究を進める。
また、アファインA型の場合には、クーロン枝は、特異点解消を持つことも知られているので、その同変コホモロジーを通常よく知られているアプローチで解析することが可能であると期待される。ある条件を課すと、この特異点解消は、中島が研究してきた箙多様体であり、特にその同変コホモロジーにはアファイン・ヤンギアンの表現の構造が入る。したがって、アファイン・ヤンギアンからコセット模型への準同型写像が存在することが期待される。従来、コセット模型の解析は難しいと思われているので、この期待が実現できれば、コセット模型の理解が深まると思われる。
また、Urod代数の一般化に関する問題については、実際にtranslation関手を中島-吉岡のブローアップ公式に応用するためには克服すべき問題が幾つか存在し、それらの解決のための研究を進める。
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| Causes of Carryover |
次年度の研究集会に講演者を招へいする際の旅費・滞在費に今年度の予算を繰り越して使う予定を立てたこと、さらに2020年1月から3月に予定していた海外出張が新型コロナウイルスの影響で中止になったためである。次年度の研究集会も中止になり、現在のところ海外出張もできるかどうか不明であるが、研究集会への参加費、および謝金に支出することを計画している。
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