2020 Fiscal Year Research-status Report
Vertex algebras and 4-dimensional supersymmetric quantum field theories
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19K21828
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
中島 啓 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (00201666)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| Project Period (FY) |
2019-06-28 – 2022-03-31
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| Keywords | 頂点代数 / ４次元超対称性場の量子論 / ゲージ理論のクーロン枝 / Argyres-Douglas理論 / W代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
R1年度に引き続き、中島はMuthiah(Kavli IPMU研究員からグラスゴー大学に転出)との共同研究で、超対称性ゲージ理論のクーロン枝を用いた幾何学的佐武対応予想の考察を続けている。その中で、頂点代数との予期していなかった関連が見つかりつつある。これは、クーロン枝の同変交叉コホモロジーの、トーラス固定点における余茎を、カッツ・ムーディ・リー環の表現により特徴づけるもので、特にアファインA型のときに証明は完成されつつある。この結果により、クーロン枝の同変交叉コホモロジーによりカッツ・ムーディ旗多様体の余接束が構成される。これは、Arkhipov-Bezrukavnikov-Ginzburgによるアファイン・グラスマンの同変交叉ホモロジーと旗多様体を結びつける結果の、アファイン・リー環における類似となっている。
また、この主張は、余茎が頂点代数のコセット模型の表現になっていることを導くことが、荒川により指摘された。
アファインA型の場合に証明できる理由の一つが、クーロン枝を弓箭多様体として実現して考察可能であることである。弓箭多様体は、クーロン枝よりも広いデータに対して考えることができ、特にアファインAn型のリー環とアファインAm型のリー環の交換する表現を同変コホモロジーの双曲余茎の上に実現することができ、これはアファイン・リー環のレベル・ランク双対性の幾何学的な実現に他ならない。この視点は、上に述べた結果の証明にもよい見通しを与える。
荒川は、４次元のArgyres-Douglas理論とW代数に関する物理学者の研究を動機の一つとして、Anne MoreauとJethro van Ekerenとの共同で、冪零Slodowy横断片の特異性のW代数の崩壊レベルへの応用を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績で述べた中島による頂点代数とクーロン枝の関係は、今まで予想されていなかったものである。R1年度考えていた証明は、有限次元の場合の Ginzburg-Riche による議論をアファイン・リー環の場合に適用するものであった。概ねの方針としてはよいものの、途中で双曲的茎を考えるコウェイトの取り換えを行う部分の考察が不十分で、ここでEtingof-Varchenko のダイナミカル・ワイル群の作用を使う必要があることがR2年度に分かったことである。この考察は、Braverman-Finkelbergによるダイナミカル・ワイル群の幾何学的な実現のアファインA型における証明になっており、それ自体が興味深い結果であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
中島はクーロン枝による幾何学的佐武対応予想のアファインAn型の場合の証明を完成させ、頂点代数のコセットとの関係をはっきり確定させる。
また、アファインA型の場合には、クーロン枝の代わりに弓箭多様体、特にその特異点解消を使い、その同変コホモロジーを通常よく知られているアプローチで解析することが可能であると期待される。特に、アファインAmリー環の作用がアファインAm型のヤンギアンに拡張されて、上のアファインAn型リー環と可換になることが予想される。これは、荒川-鈴木関手とよばれるAn型リー環の表現から退化アファインワイル群の表現への関手の、アファイン・リー環における類似とみなせるはずである。
特異点解消では同変コホモロジーの代わりに同変K群を考えることもできる。そうすると、アファイン・リー環の代わりにその量子展開環、アファイン・ヤンギアンの代わりに量子トロイダル代数が現れるが、同じ結果が成り立つことが予想される。
これまで、４次元N=2の超対称共形場理論とN=4の理論は構成されてきたが、複素鏡映群に付随して、この中間のN=3の超対称共形場理論があると理論物理学で信じられるようになった。N＝4の理論は、この中でワイル群に対応する場合と考えられるが、一般に対応するリー群がないのが興味深いところである。荒川は、Sven Mollerと共同で、このN=3超対称性共形場理論に付随すると期待される頂点代数の構成を行う。
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| Causes of Carryover |
R2年度に行う研究集会に講演者を招へいする際の旅費・滞在費に予定していたところ、これが中止になったこと、またいくつか予定していた海外出張が新型コロナウイルスの影響で中止になったためである。現在のところ海外出張もできるかどうか不明であるが、研究集会への参加費、および謝金に支出することを計画している。
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