2019 Fiscal Year Research-status Report
タイムラグが誘導する解の特異性形成の機構解明と解のダイナミクスの数理解析
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19K21836
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石渡 恵美子 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (30287958)
中田 行彦 島根大学, 学術研究院理工学系, 講師 (30741061)
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| Project Period (FY) |
2019-06-28 – 2022-03-31
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| Keywords | 遅延微分方程式 / 解の爆発 / 周期解 / 安定性 / タイムラグ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形遅延微分方程式の解の爆発現象と解のダイナミクスについて下記の研究を行った。
（１）非線形自励振動系モデルにタイムラグの効果を入れた2次元遅延微分方程式系を扱い，任意の正のタイムラグの場合に有限時間で爆発する解が存在することを示した。証明の過程で、ある時間区間で方程式を切り出したODE系におけるある変数における定常解の出現が解の爆発を引き起こしていることを解明した。更に、解が爆発する場合、無限遠方に発散するときの方向が、この定常解が表す方向であることが分かった。一方、任意の正のタイムラグの場合に無限個の円形周期解が存在することを示した。これらの周期解は、数値的にはタイムラグが小さい場合には漸近安定な周期解が１つ存在すること、その他の円形周期解は不安定であること、タイムラグが大きい場合にはすべての円形周期解が不安定であることを示唆する結果を得た。これらの成果については現在論文化を行っている。
（２）タイムラグと解の爆発の関係をより詳細に調べるための1次元モデルとして、分布型の遅延微分方程式を提案し、解の爆発について調べた。その結果、分布のタイムラグ０の点での状態によって解の爆発が起きるかどうかが分かれれることが分かった。
（３）特殊な非線形性をもつ時間遅れ微分方程式に対して、楕円関数を用いて具体的に周期解が構成できることを明らかにした。この結果に関する論文を執筆し、現在論文が受理されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究申請段階で提案していた2次元自励振動遅延微分方程式系(概要(1)の研究）については、爆発解および無限個の周期解の存在証明が完了し、同様のことが方程式をより一般化したものに対しても同様に示すことができた。
また、概要(2)にあるようにタイムラグと解の爆発について調べるテスト問題を作り、これに対し解の爆発と大域存在を分ける分布に関する条件が分かった。（ただし、この臨界点ではまだ状況が明らかではない。）
研究計画の第一段階としては十分な成果を上げたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究2年目は下記を明らかにすべく研究を推進する。
2次元自励振動遅延微分方程式系については、数値計算では周期解や定常解以外の初期状態の場合には有限時間で解が爆発することが予想されている。また、非円形周期解が存在するか、接続軌道が存在するかなど明らかでない。これらについての研究を進める。
1次元分布型遅延微分方程式については、1年目で明らかにできなかった解の爆発の条件に現れる臨界点での状況を明らかにする。
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| Causes of Carryover |
昨年度2月末よりコロナ禍によりいくつかの出張および研究集会開催・研究者招聘が出来なくなったことにより、予定していた経費が使用できなくなった。
コロナ禍の状況次第ではあるが、研究集会開催および研究者招聘・出張による研究打ち合わせが可能になり次第、前年度予定していたこれらのことを行う。
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