2022 Fiscal Year Annual Research Report
物理と数学の協働によるNavier-Stokes乱流のエネルギーカスケードの解明
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20H01819
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
米田 剛 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (30619086)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 晋 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 教授 (40321616)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes乱流 / 機械学習 / 渦伸長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
過去の研究：Yoneda-Goto-Tsuruhashi(2022)とTsuruhashi-Goto-Oka-Yoneda(2022)では、3次元Navier-Stokes乱流に対する研究が進められた。それらでは、大小隣り合うスケール間の渦によってエネルギーの受け渡しが主に行われていること、そのスケール分解された渦が-5/3乗則に対応するベキ則（渦軸の総長に対するベキ則）をロバストに満たしていることが示された。
そのことを踏まえた上で、2023年度（繰越年度）では、複数スケール間で同時に渦伸長が発生する場合を調べた（Jeong-Na-Yoneda, Nonlinearity）。より具体的には、3スケールの渦が混在している場合の渦伸長過程を調べるため、3次元非圧縮Euler方程式の解の振る舞いを観察した。その結果、3スケール間の複雑な相互作用によって、渦伸長過程がむしろ弱まることが数学的に証明された。この数学結果によって、渦伸長が2スケール間で起きていることがむしろ自然であることが示唆される。
2022年度以前の研究において渦軸の精密な可視化に成功しているので、今後は、その可視化データを機械学習させることで新たなる「乱流クロージャーモデル」を創出する計画である。そのための前段階として、時系列データに対する機械学習スキームを構築した。近年「リザバー機械学習」が、時系列データを機械学習させる際の有力な手法となりつつある。低コスト・圧倒的に短い計算時間が最大のメリットではあるが、リカレント結合重み行列などに乱数を使ってしまっており、そのことによって、学習モデルに内在するはずの数理構造が見えにくくなってしまっている。そこで、パターン記憶の構造を明示的に組み込んだ機械学習スキームを構築した。そのことから、乱流クロージャーモデル構築の際、その機械学習モデルを用いることで、非線形数理構造が抽出できることが期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
過去に創出したYoneda-Goto-Tsuruhashi(2022)とTsuruhashi-Goto-Oka-Yoneda(2022)こそ、当初に計画した主な達成目標の一つであった。3次元Navier-Stokes乱流におけるスケール分解された渦が、-5/3乗則に対応するベキ則（渦軸の総長に対するベキ則）をロバストに満たしていることが示された。これこそが「乱流の主要描像として、各スケールの渦軸を採用し、その渦軸の時間発展挙動を調べれば、乱流の数理的理解が本質的に深まるのではないか」という、当初計画した通りの研究成果が得られた形となっている。ただ、これは、今後更に続く壮大な研究に対する第一歩に過ぎない。乱流の各スケールの渦軸抽出に成功したので、そこから乱流の数理構造理解を深めるための前段階として、機械学習手法の洗練化に専念できた。これは前述のとおり、「各スケールの渦軸の抽出」という最もネックとなる部分が、当初予定より早く成功したことに起因している。
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| Strategy for Future Research Activity |
機械学習手法を駆使して、各スケールの渦軸の時間発展挙動を表す「クロージャーモデル」の構築、およびその数理的理解を目指す。より具体的には、パターン記憶の構造を明示的に組み込んだ機械学習スキームを構築したので、それを援用することにより、どういった渦軸形状の時間発展挙動がより小さなスケールへのエネルギー伝達に寄与しているのか（どういった渦軸形状・時間発展パターンがもっとも実現しやすいのか）を明らかにする計画である。
従来のリザバー機械学習を用いた乱流研究も進捗させることで、従来得られている機械学習結果・造詣との比較検討も進める。そのことによって、機械学習スキーム自体が暗に持っている（筈の）非線形構造抽出に対する数理的理解も深めていく計画である。
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