完全非線形放物型方程式の粘性解理論の深化

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20J00314
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 舘山 翔太 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2020-04-24 – 2023-03-31
• Keywords: 函数方程式論 / 粘性解 / 正則性 / 放物型方程式

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、数理ファイナンスを含む最適制御理論や確率微分ゲーム理論等で発展してきた粘性解理論に関して、１階微分項に非有界係数をもつ完全非線形一様放物型偏微分方程式に対するＬｐ粘性解の正則性（微分可能性、可積分性）、及びＤｉｒｉｃｈｌｅｔ－Ｃａｕｃｈｙ問題の解の一意性を導くことで、非発散型の放物型方程式に関する新たな知見を得ることである。令和３年度の研究の目的は、Ｌｐ粘性解に対してＷ２，ｐ評価が得られる完全非線形放物型方程式の構造の中で、２階微分項に関する凸性及びその係数に対する一様連続性の仮定より弱い条件を明らかにすることである。
上記で述べた目的のために、放物型Ｃａｌｄｅｒｏｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ評価、および非斉次項が時空ルベーグ空間に属する方程式に対する最大値原理を考察した。Ｄｏｎｇ－Ｋｒｙｌｏｖ－Ｌｉによって示された完全非線形楕円型・放物型方程式の可解性、および解のＣａｌｄｅｒｏｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ評価のＬｐ粘性解への一般化、およびその応用としてＢｅｌｌｍａｎ方程式の粘性解を用いた近似最適制御の構成法を考察した。前者については、縮尺法による単純化された極限方程式として、二階微分項に関して凸性を持つ方程式を考え、その解の評価を元の方程式に引き戻す。Ｌｐ粘性解の放物型版Ｃａｌｄｅｒｏｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ評価の確立により、非等法的Ｓｏｂｏｌｅｖの埋蔵定理をより精密に扱える可能性がある。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

粘性解の正則性理論において, 既存の結果を一般化するためには, Caffarelliの手法の改良, もしくは粘性解理論の新たな手法の発見が必要となる. 令和3年度は, 粘性解の正則性理論の解析には必須となる Caffarelliの手法の精密化を集中して行ったため, 進展は「やや遅れている」とした.

Strategy for Future Research Activity

今後も研究計画に従い, Ｌｐ粘性解に対してＷ２，ｐ評価が得られる完全非線形放物型方程式の構造の中で、２階微分項に関する凸性及びその係数に対する一様連続性の仮定より弱い条件を明らかにする。さらに、その応用としてＢｅｌｌｍａｎ方程式の粘性解を用いた近似最適制御の構成法を考察する。