2021 Fiscal Year Research-status Report
Development of a brand-new computer algebra system using Julia language and its application
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20K03537
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横山 俊一 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90741413)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 計算機数論 / Julia 言語 / 保型形式 / 高速実装 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度において、四元数体上の代数的保型形式におけるトーラス周期について大規模な数値計算を行い、その高速化についての研究成果を得た。これを踏まえて2021年度には、定値四元数環上の代数的保型形式を固定し、関係する虚2次体を動かすことによって得られるトーラス周期の値の大規模計算を行い、その分布（distribution）について数学的考察および計算機的考察、さらに統計数理的考察（中心極限定理との correspondence に関する検証）を行った。その結果、極めて明示的な対称性を観察することに成功し、これに伴って平均値0予想等のいくつかの experimental な予想を提示した。これらは単に experimental なだけではなく、Hecke 体がより一般の総実代数体の場合にも適用されていることと、optimal embedding に対する考察として行われていることに新規性がある。これは鈴木美裕氏（金沢大学）および若槻聡氏（金沢大学）との共同研究である。
この数値実験においては、計算代数システム Magma が最終的なプラットフォームとして用いられたが、文法的な扱いやコンパイラの挙動等の background trial において Julia を多用した。とくに C 言語において脆弱であった、2次体の取り替えにおいて生ずる for loop のデータの取り扱いにおいては Julia の機構を参考として、Julia のプロトタイプ実装をベースとした組み付けを Magma でも実現可能とした。
その他、企業との共同研究において、暗号署名に関する高速実装のための試験的プラットフォームとして、Julia のいくつかの内部実装を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の当初の目的は、Julia 言語を用いた特定の計算アルゴリズムを実現することであった。ところが1年目の研究を通して、Julia 言語そのものの計算代数・整数論的なアルゴリズムの実装が極めて発展途上であることが判明した。しかしながら、これらのアルゴリズムは、代数体や代数曲線のデータ構造が適切に実装されていれば、既存の計算代数システムよりも十分高速に挙動するという知見を得ることができた。
本年度の研究はこれらを実証するために重要なものであり、代数的保型形式のトーラス周期の共同研究においては、判別式 1,000,000 以下のすべての虚2次体に対する極めて負荷の高いトーラス周期の計算を、わずか24コアを用いて約半年で実現した。これは単一スレッドにおける既存実装に換算すると10年以上を要するものであり、このヒントとなったのは Julia のマルチスレッド機構および2次体のコントロールであった。
また企業との共同研究においては、従来法に従えば C 言語（これは指定言語であった）に親和性の高い高速計算ライブラリ（GMP, MPFR 等）に依存して速度を向上することがメインであったが、Julia 言語の数値処理の高速化プロトコルからヒントを得た点も多い。結果的に、分散処理法に戦略を固めたことが、スタンダード高速実装の開発に繋がった。
以上により、Julia 言語を用いた計算代数システム開発においてのヒントと、C 言語との高速化比較などの様々なベンチマーク結果を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度には、2021年度に得られた成果をさらにブラッシュアップする方針を固めている。まず代数的保型形式のトーラス周期に関する計算においては、すでにいくつかの分岐条件等において experimental な分布の結果を得ている。しかしながら、整環（maximal order）の構造においては、判別式が小さくてもトーラス周期の値をすべて計算することが困難な例が残されている（今年度発表した論文においてはこのケースを考察する必要はなかったが、より一般的な枠組みで平均値0予想等の我々の予想を示し切るためには、このような一般化が必須と考えられる）。このような例に対し、定値四元数環・Hecke 環などの構造を活かした新しいアルゴリズムを得ることができないか、Julia の計算機構をベース・ヒントとして考察していきたいと考えている。
一方で、企業との暗号研究において生まれた高速化技法をブラッシュアップし、全てを Julia 環境で組み込むことも思案中である。実際にはこれはまだ難しいと考えられ、とくに既存の大規模ライブラリに匹敵する汎用ライブラリはまだ Julia には多いとはいえないが、局所的に C 言語による実装を大幅に改善する実装を実現できればと考えている。とくに署名実装における基礎的な数論実装、例えば MPQS 等の最適実装などを組み込み、これを用いた多変数多項式の連立方程式系の処理系に寄与できるようなパッケージを提供できればと考えている。
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| Causes of Carryover |
昨年度に引き続き、新型コロナウイルス感染拡大に伴う国内外の出張規制により、支出が全くできなかったことが要因である（今年度は大学院生と供用する計算機を1台と、2021年12月に弊研究室の修士2年生1名の国内出張旅費として支出した）。また、企業との共同研究においても予算が支出されたため、本年度の研究代表者の物品購入はここから支出したことも要因である。
しかしながら、本年度の研究成果を基として、2022年度および2023年度においては（海外研究渡航が引き続き困難な状況となりうることを踏まえて）、やや高性能なワークステーションの導入を考えており、予算執行のスケジュールとしては順調であると考えている。
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| Remarks |
本年度の研究成果に関するプレプリント：
Miyu Suzuki, Satoshi Wakatsuki, Shun'ichi Yokoyama, Distribution of toric periods of modular forms on definite quaternion algebras, https://arxiv.org/abs/2203.07606
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Research Products
(7 results)
