Hopf-Galois theory applied to supergeometry

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03552
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: Masuoka Akira 筑波大学, 数理物質系, 教授 (50229366)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: スーパー対称性 / ホップ・ガロア理論 / スーパー群スキーム / スーパー・リー群 / デサント / トーサー

Outline of Final Research Achievements

In recent years, supergeometry in mathematics has attracted attention due to the impact of superstring theory in physics. This research project aims at applyng theory of Hopf-Galois extensions, tat is, a non-commutative analogue of torsors in algebraic geometry, to the context of "super-commutative", which sits between "commutative" and "non-commutative".
We have obtained some basic results on the structure of super-algebraic groups and applied them to clarify the structure of super-torsors. We can now say that we are now ready to construct the super-symmetric differential Galois theory that we had hoped for.

Free Research Field

代数学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

スーパー幾何学においては、1970年代に本格的な研究が始まって以来、主に微分幾何学的方法が用いられ、代数（幾何）学的方法の開発は遅れていたように思われる。本研究は、この遅れを取り戻すことにわずかでも貢献できたと思う。リー群が定義のうちに順滑性を仮定するのに比して、群スキームの定義がそれを仮定しないという点から見て、後者の取り扱いの方がより難しいと思われがちであるが、少なくともスーパー対称性のコンテクストにおいては、そうとも限らない。代数学の自由な発想で得たスーパー群スキームに関する結果の類似をたどることで、スーパー・リー群に関する新事実を知るという貴重な経験をした。