2021 Fiscal Year Research-status Report
Construction of quantum walk model in Max-plus algebra and its application
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20K14367
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| Research Institution | The University of Fukuchiyama |
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Principal Investigator |
渡邉 扇之介 福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Max-plus代数 / 量子ウォーク / 固有ベクトル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度の研究成果として，量子ウォークのmax-plus類似であるウォークモデル（max-plusウォークと呼んだ）を構成し，保存量が時間発展行列の固有値の総和となることを示した．この結果を踏まえて，2021年度はmax-plusウォークの極限分布を導出した．具体的には，量子ウォークの極限分布がお椀型になることに対し，max-plusウォークでは単純な直線となることを示した．この直線は量子ウォークにおける極限分布を「均した」ような形となっている．この結果はRIMS Kokyuroku Bessatsuに掲載された．
量子ウォークでは，格子点上の状態ベクトルの時間発展にユニタリー行列が用いられ，例えば各状態ベクトルのノルムの2乗の総和が時間に関する保存量となるという性質はユニタリー性が重要となる．一方で，Max-plus代数においては，このユニタリー性に完全に対応する性質が存在しない．その理由の１つがベクトルの直交の概念を定義することが難しいことにある．また，max-plusウォークの保存量は固有値と対応するため，max-plus代数における固有値問題を考えることは重要となるが，max-plus代数においては最大固有値以外の固有値についての議論は煩雑で，固有多項式の根と固有値との関係についても整理されていない．そこで，2021年度ではmax-plus代数における対称行列の固有ベクトルを調べ，それらの直交性と独立性に関する研究を行った．この研究については現在も進行中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究は既に１件の掲載済み論文を発表している．ただし，共同研究者との打合せや学会活動への参加が難しく，セルオートマトンとの関連を調べる研究の進捗はやや遅れている．
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| Strategy for Future Research Activity |
Max-plus代数における直交性の概念を構築し，その視点からmax-plusウォークの解析を再度行う．具体的には，固有ベクトルを求めることで直交性を調べる．さらに，固有ベクトルがモデルに与える特徴や，ある種のユニタリー性と見られる特徴があるのかを調べる．また，セルオートマトンとの関係についての研究も開始する．
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| Causes of Carryover |
2021年度もコロナの影響で国際会議，国内会議といった出張に行くことができず，研究打合せも含めてすべてオンラインで行ったため，使用計画における旅費を使用することがなかった．また，年度前半で講師を招くこともできず人件費も全てを使用することがなかった．
2022年度はいくつかの国内・国際学会が対面で開催を予定しており，旅費を計上することが見込まれる．また，共同研究者との打合せも対面で行う予定である．
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