Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 21K18583
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
• Research Institution: Saitama University
• Principal Investigator: Nagasawa Takeyuki 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 下川 航也 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (60312633)
• Project Period (FY): 2021-07-09 – 2024-03-31
• Keywords: 結び目のエネルギー / 絡み目のエネルギー / メビウス・エネルギー / メビウス不変 / ガウス写像

Outline of Final Research Achievements

We study the Moebius energy for knots and kinks taking the topology of knot type and link type into consideration, The linking number of a link is the mapping degree of the Gauss map. Here, generalizing the definition of the Gauss map to knots, we investigate relations the Gauss map and the Moebius energy and its decomposition. As s result, we derive the direct expression using the Gauss map of the Moebius energy and its decomposed energies, and the indirect expression of the second decomposed energy. The decomposition can be interpreted as the parallelogram low for the energy from the indirect expression, The direct expression suggests relevance of the second decomposed energy to the wave map.

Free Research Field

解析幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

結び目や絡み目のエネルギーは、それらの標準型を与えるために考案されたものである。その中でメビウス変換により不変なエネルギーがメビウス・エネルギーである。この不変性は幾何学的には興味深いが、解析学的には最小化列のコンパクト性の喪失を意味に、解析が困難となる。そのために、エネルギー構造のより深い理解が必要となる。本研究により、位相不変量を与えるGauss写像との関連が明らかとなった。