Skein algebra and its applications

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 22K20342
• Research Category: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: 0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
• Research Institution: Gakushuin University
• Principal Investigator: Karuo Hiroaki 学習院大学, 理学部, 助教 (80963363)
• Project Period (FY): 2022-08-31 – 2024-03-31
• Keywords: スケイン代数 / 指標多様体 / 量子団代数

Outline of Final Research Achievements

With J. Korinman, we gave the Azumaya loci of skein algebras explicitly. As an application, we had a simpler interpretation of projective representations coming from non-semi simple TQFT. In another project, we classified finite dimensional representations of reduced stated skein algebras using a decomposition formula of Azumaya loci.
With T. Ishibashi, we gave a skein interpretation of the positivity conjecture of structure constants for quantum duality maps and showed the conjecture with explicit structure constants.

Free Research Field

低次元トポロジー

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

Korinman氏との共同研究(1)はLe--Yuのサーベイにおける予想の反証になっており, インパクトがある. 特に, 非半単純位相的場の理論由来のスケイン代数の表現や量子6j記号を用いており, 先行研究のアイデアや手法とは非常に異なっている. (2)では, 量子団代数のAzumaya集合に関する結果の適用が証明の根幹になっており, 低次元トポロジーに収まらない研究として意義がある.
石橋典氏との共同研究について, 構造定数の正値性予想のスケイン代数的な解釈の恩恵として, 比較的簡単な曲面に対しては, スケイン代数の範疇で図式的かつ具体的に構造定数が理解できるというのが本研究の有用性である.