New development of Lipschitz structure/collapsing theory of Alexandrov spaces and inverse spectral problem

2018 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 26287010
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Partial Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Yamaguchi Takao 京都大学, 理学研究科, 教授 (00182444)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 太田 慎一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558) ; 磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913) ; 塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: アレクサンドロフ空間 / 良い被覆 / リプシッツ・ホモトピー / 内半径崩壊 / 測度距離空間 / スペクトル逆問題

Outline of Final Research Achievements

1. We properly defined the notion of good coverings of Alexandrov spaces, and obtained a Lipschitz homotopy convergence theorem in the non-collapsing case using it. 2. In the case when a manifold with boundary inradius collapses under a lower sectional curvature bound and a two-side bounds on the second fundamental form of the boundary, we determined the manifold structure. This gives an extension of a result due to Gromov, Alexander-Bishop. We also determined the structure of inradius collapse of codimension one in the case of bounded diameter. 3．We developed geometric analysis of metric measure spaces concerning isometric inequalities and spectral inverse problems about lattices and surfaces of revolusion.

Free Research Field

微分幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

アレクサンドロフ空間は、多様体と呼ばれる曲がった空間の崩壊極限として現れる重要な、特異点をもつ空間である。我々の良い被覆を用いたアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピーの研究は、今まで難解だったアレクサンドロフ空間の研究に、新しい手法を提供する画期的なものである。また我々の境界つき多様体の内半径崩壊の研究は、これまでほとんど知られていなかった境界つき多様体の崩壊の研究の可能性を大きく開く画期的なものといえる。