Geometry of the first orthant

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16K13758
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Gakushuin University
• Principal Investigator: Yamada Sumio 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 距離空間 / 射影幾何学 / 複比 / タイヒミュラー理論 / 測地線 / 凸幾何学 / フィンスラー幾何学 / 時空の幾何学

Outline of Final Research Achievements

There typically exists countably many positive quantities affiliated with any Riemannian manifold、each of which is marked with topological labeling of the manifold. Those quantities can be thought of as the coordinates for the first orthant of the Euclidean space. In this way, the space of the Riemannian manifolds are smoothly embedded into the orthant, allowing a completely new approach in the moduli theory of Riemannian geometry, which include the Teichmueller theory. Also accomplished in this project is the new formulation of timelike geometry, after the work of H. Busemann, dated half a century ago. The timelike geometry generalizes the Lorentzian geometry in the context of the theory of metric spaces, and it has opened up a new perspective in the Finsler geometry of non-positive definite type.

Free Research Field

幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ユークリッド空間の第１象限という古典的な空間は、多様体の幾何構造を表現する正値の幾何学的汎関数を座標関数として同一視することで、多様体のモジュライ空間の普遍的な母空間として機能することを提唱した。一方で第１象限は、射影幾何学的な観点から自然な対象であり、幾何構造のモジュライ理論に必然的に現れる非線形な振る舞いの表現空間として、線形代数的な言葉を用いてモジュライの振る舞いを解析する新たな方法論を定式化したことには意義がある。また一般相対性理論の重要性が再認識されている中で、本研究で確立された時空の幾何学を扱うための新しい数学的枠組みは、科学的な必然性を持つ方向性であると考える。