Solving the smooth unknotting conjecture in dimension four

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K03306
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Osaka Metropolitan University (2022); Osaka City University (2018-2021)
• Principal Investigator: Matumoto Takao 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (50025467)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 鎌田 聖一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380) ; 大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: トポロジー / ２次元結び目 / ２次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / ４次元トポロジー

Outline of Final Research Achievements

We attempted to prove the smooth unknotting conjecture in dimension four by using the idea of 1-paramter family of 2-dimensional braids. Although we have not succeeded with the conjecture itself, we have shown that under a certain condition, if two charts presenting 2-dimensional braids are related by a one-parameter family of charts possibly with at most one node then they are related by another one without node. We also introduced a partial order on finite sequences of transpositions, which is related to finger moves on 2-dimensional braids.

Free Research Field

トポロジー

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

２次元滑らか結び目の解け予想は、４次元空間の中に埋め込まれた球面に関する予想であり、微分トポロジーにおける重要な問題の一つである。４次元空間の中に埋め込まれた球面などの曲面は２次元ブレイドと呼ばれるとても良い形状に変形できることが知られており、２次元ブレイドを平面上の図式で表したものがチャートである。今回得られたチャートの変形に関する研究成果は、今後の４次元空間の中に埋め込まれた曲面の研究などに有用となりうる。