Mathematical analysis for multi-component system of partial differential equations

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19H01799
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: Suzuki Takashi 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任教授(常勤) (40114516)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 高橋 亮 奈良教育大学, 数学教育講座, 准教授 (30583249) ; 三沢 正史 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672) ; 佐藤 友彦 日本大学, 生産工学部, 准教授 (50397676) ; 宮西 吉久 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任助教(常勤) (20740236) ; 太田家 健佑 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任研究員 (30805859)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 非線形偏微分方程式 / 大域解析学 / 非平衡統計力学 / 自由境界問題 / 特異性

Outline of Final Research Achievements

We have clarified the behavior of the solution to the system of partial differential equations in theoretical sciences and engineering, using the method of global analysis such as scaling. Particularly, mass quantization and the control of the singular spots by the point vortex Hamiltonian are confirmed for 2D elliptic equations with exponential nonlinearity and 2D Smoluchowski-Poisson equation. Geometric results on the 2D normalized Ricci flow are also recovered by the theory of gradient inequality and critical manifold.

Free Research Field

非線形偏微分方程式、応用解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

数理科学や工学で用いられる数理モデルの多くは非線形偏微分方程式の連立系で記述される。本研究は、自己組織化が同一テンプレートのコピーとして出現されること（量子化）や、同一のハミルトニアンによって個別粒子の運動が集約されて連続分布となり、さらにその連続分布が集約されて粒子としてふるまう現象（循環的階層）を、新規に開拓した大域解析学の方法で解明し、数学のみならず関連分野に新たな視座を与えたものである。