Research on number theory based on special values and relations of zeta functions

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03437
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: Ohno Yasuo 東北大学, 理学研究科, 教授 (70330230)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 多重ゼータ値 / 多重ベルヌーイ数 / 荒川金子ゼータ関数 / 超幾何級数 / Schur多重ゼータ値 / 大野関係式 / 一般超幾何関数 / Jacobi-Trudi公式

Outline of Final Research Achievements

For special values of Arakawa-Kaneko type multiple zeta functions, we succeeded in giving a formula (sum formula) in which the sum is written in terms of multiple zeta-star values. In particular, for special values of Kaneko-Tsumura multiple zeta function, which is one of the functions of this type, we succeeded in giving an infinite series of sum formulas invariant under the dual transformation. The key to these proofs is the variable transformation using the integral representation of a generating function with multiple parameters and the functional relation of hypergeometric functions in the background.
On the other hand, collaboration with Maki Nakasuji on Schur type multiple zeta values, we have succeeded in deriving the duality formula and its generalization to Ohno sum. Furthermore, in collaboration with Maki Nakasuji and Wataru Takeda, we have also succeeded in giving its complex one-variable interpolation.

Free Research Field

数論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

多重ゼータ値の張る環の構造は、数学の広範な領域に加え数理物理など他分野においても、重要な局面に登場する（一部は予想）。しかし多重ゼータ値と保型形式の関係、あるいはアソシエイタとの関係、等々の様々な場面で、詳細情報の理解が望まれているが現状うまく掴みとれていない。本研究は、古くから多くの情報が集積されている、超幾何関数を用いて多重ゼータ値の現象を理解すること、更には超幾何関数と多重ゼータ値の双方向的関係を理解することで、重要課題の多くに有益な情報と技術をもたらすことになる。超幾何的視点で、双対不変性をもつ和公式の無限系列や、Schur型多重ゼータ値の一般化双対公式を得たことは重要な進展である。