Operator-theoretical study of the Eliashberg equation in strong-coupling superconductivity

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 21K03346
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: Gunma University
• Principal Investigator: Watanabe Shuji 群馬大学, 大学院理工学府, 教授 (90222405)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 超伝導 / エリアシュベルグ方程式 / 解の存在と一意性 / 解の温度や外部磁場についての性質 / 外部磁場

Outline of Final Research Achievements

It is highly desirable to solve the Eliashberg equation in superconductivity from the viewpoint of operator theory. We dealt with the case where the coupling between an electron and a phonon is small enough, and found out a suitable condition on the potential in the Eliashberg equation. We apply fixed-point theorems to the nonlinear integral operator defined on a suitable set of our Banach space, and gave an operator-theoretical proof for the existence and uniqueness of the solution to the Eliashberg equation under the condition above. Moreover, we showed the continuity and smoothness of the solution with respect to the temperature. Furthermore, we showed the existence, uniqueness, continuity and smoothness of the solution when the constant external magnetic field is applied in the case where the coupling between an electron and a phonon is small enough.

Free Research Field

作用素論的手法の応用数学分野への応用

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

エリアシュベルグ方程式を解くことは超伝導の理論的研究において極めて強く切望されているにもかかわらず、連立の非線形積分方程式であるため、数値解析的な研究は活発に行われていますが、解析的にほとんど解けておらず、解析的な研究はあまり進展しておりませんでした。このような状況下において、電子・フォノン間の結合定数が非常に小さい場合について、エリアシュベルグ方程式のポテンシャルに適切な条件を課し、バナハ空間とその部分集合を適切に設定して非線形積分作用素に対して不動点定理を応用しました。その結果、解の存在と一意性、解の温度についての連続性や偏微分可能性等を数学作用素論的に示すことができました。