Algorithms for D-modules and their applications

2018 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 26400123
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Basic analysis
• Research Institution: Tokyo Woman's Christian University
• Principal Investigator: OAKU Toshinori 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60152039)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: D加群 / アルゴリズム / ホロノミック関数 / 超関数 / 積分 / グレブナー基底 / 確率密度関数 / ファインマン積分

Outline of Final Research Achievements

D-module is an algebraic concept corresponding to a system of linear (ordinary or partial) differential equations. Holonomic systems are an important class of D-modules; their solutions constitute a finite dimensional vector space. Hence properties of a holonomic function are expected to be extracted from the corresponding holonomic system. I constructed an algorithm for computing a holonomic system for the integral of a holonomic function over the domain defined by polynomial inequalities. I also gave a rigorous proof that the result of the algorithm is in fact a holonomic system. As an application, I computed holonomic systems for density functions for various stochastic distributions, as well as for the Feynman integral associated with the triangle Feynman diagram in the two-dimensional space-time.

Free Research Field

代数解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

D加群理論は線型微分方程式の一般化であり，数学のみならず理論物理学でも重要な理論であるが、極めて抽象的な理論であるため、実際の計算は従来は極めて困難であった。コンピュータで実行できるアルゴリズムを構成することにより応用範囲を著しく拡張することができた。たとえば統計学における種々の分布の確率密度関数が満たす微分方程式が機械的に計算できる。これによって種々の確率分布の数値計算が効率的に行えるようになることが期待される。またファインマン積分など素粒子物理学への応用も見込まれる。