ナヴィエ・ストークス方程式における可解性及び調和解析学の応用

• Project/Area Number: 04J01590
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 澤田 宙広 早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2004 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥3,400,000 (Direct Cost: ¥3,400,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2004: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: 偏微分方程式 / ナヴィエ・ストークス方程式 / リプシッツ連続 / 正則性 / 解析性 / ケーラー・ジーゲル方程式 / 伝播速度 / アレン・カーン方程式 / Navier-Stokes方程式 / 可解性 / 半群理論 / 非減衰 / Maximal Regularity / スピンコーティング / 時間局所解 / 調和解析 / 解の爆発 / 時間大域解 / ベヅフ空間

Research Abstract

私はこの1年で、以下の2つの結果を得た。1つ目は、非圧縮な粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式について、定常解のまわりでの可解性の定理を得た。すなわち、初期速度場をf(x)+u_0(x)とした時の時間局所解の存在を証明した、ただしfはリプシッツ連続な定常解で、u_0を可積分関数の摂動とする。また、得られた解の意味においても考察を行った。得られた解は積分方程式を満たすものである。その解が古典的な意味で方程式を満たすのか、一般にはまだ分かっていない。しかし、f(x)=MX(ただしMは定数行列)と限定された場合は古典解になる事を証明した。2つ目は、ある種の放物型方程式において、解の空間変数に対する解析性を示した事である。具体的には、走性粘菌の運動を記述するKeller-Segel方程式や燃焼モデルを記述するある種の半線形熱方程式(Fujita方程式)、金属格子の向きの修正運動を表すAllem-Cahn方程式を扱った。これらの問題について、得られた解は滑らかである事は良く知られていた。今回は、更に深く考察を行い、解が解析的である事を証明した。証明の方針は、解の高階微分を丁寧に調べて、テーラー展開の収束半径を下から評価する事である。系として、解の伝播速度が無限大である事が従う。今まで伝播速度が無限大である事の証明は強最大直原理に由来した。今回は新しいアプローチで、強最大値原理の応用が難しいベクトル値の解についても、伝播速度が無限大である事が証明出来た。

Research Products

• [Journal Article] The Navier-Stokes flow for globally Lipschitz continuous initial data (2007)
  • Author(s): M.Hieber, A.Rhandi, O.Sawada
  • Journal Title: 講究録別冊第1号(京大数理研) 1 Pages: 139-145
• [Journal Article] On the Cauchy problem of the Navier-Stokes flow for globally Lipschitz initial data (2007)
  • Author(s): O.Sawada
  • Journal Title: 京大数理研 講究録 : 調和解析と非線形偏微分方程式 1529 Pages: 1-18
• [Journal Article] リプシッツ関数を初期値とした場合のナヴィエ・ストークス方程式の可解性 (2007)
  • Author(s): O.Sawada
  • Journal Title: 第28回発展方程式若手セミナー報告集 28 Pages: 159-168
• [Journal Article] A remark on L^∞ solution to the 2-D Navier-Stoke equatioy (2006)
  • Author(s): O.Sawada, Y.Taniuchi
  • Journal Title: Journal of Mathematical Fluid Mechanics
• [Journal Article] Remarks on the incompressible Navier-Stokes flows for linearly growing initial data (2006)
  • Author(s): O.Sawada
  • Journal Title: Conference Proceedings of Equadiff 11
• [Journal Article] An improvement of the a priori estimate on the 2-D Navier-Stokes flow with nondecaying initial velocity (2006)
  • Author(s): O.Sawada
  • Journal Title: Kyoto Conference on the Navier-Stokes Eqs and Appl.
• [Journal Article] 減衰しない初期条件下での2次元流体の運動 (2006)
  • Author(s): 澤田 宙広
  • Journal Title: 第27回発展方程式 岩手セミナー 講究録