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双曲型力学系の周期軌道の構造および次元論

Research Project

Project/Area Number 04J05107
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Global analysis
Research InstitutionHiroshima University
Research Fellow 平山 至大  広島大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(PD)
Project Period (FY) 2004 – 2006
Project Status Completed (Fiscal Year 2006)
Budget Amount *help
¥3,400,000 (Direct Cost: ¥3,400,000)
Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Fiscal Year 2004: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
Keywordsエントロピープロダクション / 絶対連続不変測度 / 双曲型力学系 / 葉層
Research Abstract

力学系の統計的性質を記述する不変測度は、何らかの意味において標準的な性質を持っていることが期待される。この場合当然、どのような観点に立つかに応じて種々の標準が考えられるが、現在までの研究で非一様双曲型と呼ばれる広いクラスの力学系に対して、その不変測度の(1)体積要素に関する絶対連続性、(2)統計力学的平衡性、(3)次元論的平衡性、(4)アトタクターの物理的観測可能性、が実は同等であることを明らかにしていた。他方で、力学系がAnosovという強い双曲性を持つ場合に、性質(1)は更に(5)全ての周期軌道上でヤコピアンの絶対値は1をもつ、という性質とも同等であることが古くから知られていた(従ってAnosovの場合には(1)〜(5)全てが同等な性質となる)。(1)〜(4)が全て測度に課せられた性質であるのに対し、性質(5)は測度に依らないという点で、この同等性の主張は強い。このことからもAnosov系の特殊性が垣間見える。それではAnosovとは限らない力学系に対しても性質(5)との同等性が成立するかという間題は自然でありかつ興味深い。この性質(5)を含めた不変測度の性質に関する同等性の間題について鷲見直哉氏(束京工業大学理学部)と共同研究を行ない、。本年度は以下のような成果を得た。
まず、非一様双曲型力学系一般には性質(5)との同等性が成立しないことを確認した。実際に、全ての周期軌道上でヤコピアンの絶対値は1をもつが、体積要素に関して特異な不変測度をもつ非一様双曲型力学系がある。この現象に注意して、非一様双曲型力学系が性質(5)をもち、かつ不変測度が不安定多様体上に密度をもつならば、性質(1)が成り立つことを示した。また、2次元トーラス上の拡大性をもつ非一様双曲型力学系に対しては、逆の主張が成立することも示した。更に本研究においては、性質(5)とエントロピープロダクションとの関連についても明らかにした。
これらの結果は鷲見氏との共著論文として纏められ、その要旨は数理解析研究所講究録に採録予定であり、本論分はHiroshima Mathematical Journalにおいて現在査読中である。

Report

(3 results)
  • 2006 Annual Research Report
  • 2005 Annual Research Report
  • 2004 Annual Research Report

Research Products

(5 results)

All 2007 2006 2005 2004

All Journal Article (5 results)

  • [Journal Article] Non-absolutely continuous foliations2007

    • Author(s)
      平山 至大
    • Journal Title

      Israel Journal of Mathematics (掲載決定)

    • Related Report
      2006 Annual Research Report
  • [Journal Article] Absolutely continuous invariant measures for expansive diffeomorphisms of the 2-Torus2007

    • Author(s)
      平山 至大
    • Journal Title

      数理解析研究所講究録 (掲載決定)

    • NAID

      110006455964

    • Related Report
      2006 Annual Research Report
  • [Journal Article] Non-absolutely continuous foliations2006

    • Author(s)
      Michihiro Hirayama, Yakov Pesin
    • Journal Title

      Israel Journal of Mathematics (掲載予定)

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Journal Article] Second Variational Formulae for Dimension Spectra2005

    • Author(s)
      Michihiro Hirayama
    • Journal Title

      Journal of Statistical Physics 118・1/2

      Pages: 103-118

    • Related Report
      2004 Annual Research Report
  • [Journal Article] An upper estimate of Hausdorff dimension of a stable sets2004

    • Author(s)
      Michihiro Hirayama
    • Journal Title

      Ergodic Theory and Dynamical Systems 24・4

      Pages: 1109-1125

    • Related Report
      2004 Annual Research Report

URL: 

Published: 2004-03-31   Modified: 2016-04-21  

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