トーリック多様体とカスプ特異点の研究

• 研究課題/領域番号: 19K03393
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 石田 正典 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (30124548)
• 研究分担者: 土橋 宏康 宮城教育大学, 教育学部, 特任教授 (00146119)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2025-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2024年度)
• 配分額: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円); 2022年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2021年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: トーリック多様体 / 代数幾何学 / カスプ特異点 / コクセター群 / 直角鏡映群 / 凸多面体 / 無限扇

研究開始時の研究の概要

空間内の有理凸多面体からトーリック多様体と呼ばれる代数多様体が構成される．この凸多面体を非有界なものにまで拡張し，対称性の高いものを考えるとトーリック因子とこれを収縮したカスプ特異点が得られる．代数多様体の分類理論との類似性もあり，凸多面体に伴う双対性や数論との関係も興味深い．この観点でトーリック多様体理論を拡張した扇の理論を展開したい．

研究成果の概要

本研究ではトーリック型カスプ特異点や一般のトーリック多様体について様々な研究を行ったが，特に 2018 年に土橋によって発見された 4 次元カスプ特異点の研究で大きな成果が得られた．この特異点はある無限コクセター群の指数 48 の部分群により構成されたが，その部分群は確定する形では書かれていなかった．本研究ではこれを確定させることにより，この特異点の非特異化の 4 つ例外因子がどのように正規交叉して 48 個の通常 4 重点を作っているかを解明した．さらにこの特異点のトッド種数とゼータ零値を求めた．

研究成果の学術的意義や社会的意義

トーリック多様体の理論は代数幾何学の一部であるが凸多面体や多角凸錐で記述されるなど組み合わせ論的要素が大きい．そのため代数幾何学の中で計算機が最も有効に利用できる分野である．また非常に抽象的な議論の多い代数幾何学の中で，抽象論から具体的な計算可能な実例を引き出すことを可能にする理論である．この研究でも 4 次元カスプ特異点を一般の方にも見易い 3 次元の多面体として視覚的に表現するなど計算機を活用した．