| 研究課題/領域番号 |
20K20519
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| 研究種目 |
挑戦的研究(開拓)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
大鹿 健一 学習院大学, 理学部, 教授 (70183225)
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| 研究分担者 |
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
25,740千円 (直接経費: 19,800千円、間接経費: 5,940千円)
2025年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2020年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
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| キーワード | 接バンドル / Teichmuller空間 / Finsler計量 / earthquake / 双曲構造 / Kodaira-Spencer理論 / Thurston距離 / Thurstonの一意化定理 / Finsler距離 / Thurston理論 / 余接バンドル / Lorentz計量 / Klein群 / 変形空間 / Higgs束 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
低次元トポロジーで長年主力となってきた理論体系として，双曲幾何を通じたThurston理論とゲージ理論がある．これまでこれら2つの理論の間には大きな交渉はなかった．本研究ではThurston理論をバンドル理論の枠組みに載せることにより，ゲージ理論化することを試みる．従来は多様体自体の構造として捉えられていたものを，バンドルを通じて解釈しなおすことにより，Thurston理論でこれまで深い意味がわからなかった現象を，調和写像，Higgs束，ゲージ理論の量子化などを通じて解明することにより，Thurston理論のさらなる発展に大きく寄与することを目指す．
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| 研究実績の概要 |
Higgs束などのリーマン面上のベクトル束の変形空間の理解のためには，離散群の表現空間において重要な役割を担うTeichmuller空間の無限小構造の研究は重要な構成部分とでなる．Thurston理論のバンドル理論化を目指し，Teichmuller空間のThurston理論を軸として，２次元の理論をさらに進展させることができた．
大鹿はBar-Natan, Papadopoulosらとの共同研究の中で，Teichmuller空間のThurston非対称距離について，接バンドルを各ファイバーが凸構造を持っている総体として捉える視点を導入し，Thurston距離とearthquake距離の双対性や，剛性に対して，新しくバンドルから見た解釈を与えた．さらに凸構造が与える球面の組み合わせ構造を分析し，構造の組み合わせ的不変性が，Teichmuller空間の新しいパラメータ付けを導くことを示した．
一方山田はTeichmuller空間の大域的幾何構造を解明するために，写像類群の作用に関して同変な変位レトラクト（spine）の構成を、A'Campoと Papadoloulosとの共同研究として進めた．このレトラクトに含まれる点は，非自明な自己同型変換をもつリーマン面からなるため．リーマン面のもつ対称性とタイヒミュラー空間の対称性を比較することが原理となっている．宮地はFinsler計量に対してMatveev-Troyanovの意味のBinet-Legendre計量の複素化を行い，複素FInsler計量に対してHermite計量の研究を行った。また，リーマン面上の解析的有限なリーマン面上の正則族に関するモノドロミー表現について研究し, モノロドミー表現に関して不変となる有界正則関数の非存在性を示した．
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度は２次元での研究に集中的に取り組み，研究代表，分担者がそれぞれ進める研究も，共同で行う研究も順調に進んでいる．海外での共同研究も盛んに行なっている．特にTeichmuller空間のThurston距離と複素解析的視点を結びつける研究が大きく発展している．得られた結果の多くはすぐに論文にし，arxivを用いてpreprintとして，公表されている．またこれまで本研究で得られた結果の正式な出版も順調に進んでおり，今年度もいくつもの論文が出版されている．さらに各メンバーが国際研究集会で成果を発表することも積極的に行われている．
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| 今後の研究の推進方策 |
２次元におけるバンドル理論の構成はかなり完成に近づいたが，未だ以下の課題が残っているので，今後の目標とする．
(1)Thurston計量の余接バンドルとearthquake計量の接バンドルには，Weil-Petersson形式を経由した双対性がある．これはFinsler計量の捩ったLegendre変換と見なすことができる．Legendre変換の一般化を展開することにより，そこに隠れているTeichmuller円板の双曲計量についての類似物のバンドル的記述を与えることを目指す．
(2)(1)の理論は複素化することにより，quasi-Fuchs群での類似の理論を構成することが可能になると期待される．すると射影構造に関するWeil-Petersson形式の純粋に表現空間を通しての記述ができるはずである．これはより一般に，Klein群の変形空間での同様な構造の解明につながることが期待される．
以上の研究ののちに，さらに２次元で構成できた理論から３次元へ拡張して行くことを試みる．３次元におけるThurton計量を用いたバンドル理論の構成は，maximal stretching directionが２次元方向に広がっている可能性が排除できないことが障害となっていた．今後pleated surfacesの変形理論をJean-Marc SchlenkerらのLuxembourg大学での研究チームとの共同研究により発展させる．これにより，２次元で培われた理論を３次元に適用できるようになることが期待される．さらにこの研究は長年の問題であるbending laminationの一位実現化問題の一般理論の構成につながることが期待される．
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