| 研究課題/領域番号 |
21K03260
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
谷山 公規 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10247207)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 不変量対の間の関係 / 結び目 / 平面ジェネリックイマージョン / 空間グラフ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
グラフを頂点と辺からなる１次元の図形とみて、その３次元空間における形状を、伸縮自在な変形を許容するトポロジーの一分野である結び目理論の観点から研究する。知恵の輪の作り方や解き方などの工学上の応用や、ＤＮＡや高分子化合物のように柔軟な物質の研究への応用も視野に入れて研究する。
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| 研究実績の概要 |
Ｗを集合とし、ｅをＷ上の同値関係とする。Ｘ＝Ｗ／ｅを同値類集合とする。Ｙを集合とし、ｆをＸからＹへの写像とする。ｆはＷの同値関係ｅに関する不変量と呼ばれる。例えばＷが位相空間の集合、ｅを同相とすればｆは位相不変量、Ｗを結び目の集合、ｅを全同位とすればｆは結び目不変量である。さらにＺを集合とし、ｇをＸからＺへの写像とする。このとき、ｆ×ｇを、ＸからＹ×Ｚへの写像でＸの元ｘをＹ×Ｚの元（ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ））に写すものと定義する。このとき、不変量ｆと不変量ｇの間の関係を、Ｙ×Ｚの部分集合（ｆ×ｇ）（Ｘ）と定義する。
この定義のもので、不変量ｆと不変量ｇの間の関係を決定しようという研究は、今まで明示的、意識的になされたことはなかったように思われる。本研究では、ｆやｇとして、結び目の最小交点数・結び目解消数・橋指数・組紐指数・種数・標準種数を考え、これらの間の関係を考察または決定した。
Ｊを結び目全体の集合とし、ｅを全同位とすれば、Ｋ＝Ｊ／ｅは結び目型全体の集合となる。Ｚを整数全体の集合とし、ｃを結び目の最小交点数、ｕを結び目の結び目解消数とする。本研究の一例としてｃとｕの間の関係（ｃ×ｕ）（Ｋ）について述べる。（ｃ×ｕ）（Ｋ）は、（０、０）と正の整数の組（ｘ、ｙ）で２ｘはｙ－１以下であるもの全ての和集合となる。（０、０）＝（ｃ×ｕ）（自明結び目型）であり、（６、２）＝（ｃ×ｕ）（スクエア結び目型）＝（ｃ×ｕ）（グラニー結び目型）である。これ以外の（ｃ×ｕ）（Ｋ）の元は全て素な結び目型の像となる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
長年の経験が活かされているため。
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| 今後の研究の推進方策 |
このまま研究を推進する。
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