算術の超準モデルと不完全性定理

• 研究課題/領域番号: 24540125
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 菊池 誠 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (60273801)
• 研究期間 (年度): 2012-04-01 – 2015-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2014年度)
• 配分額: 4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円); 2014年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円); 2013年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2012年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
• キーワード: 不完全性定理 / 超準モデル / 算術 / 様相論理 / 逆理 / 数学基礎論 / 算術の超準モデル / 矛盾許容型論理

研究成果の概要

まず，ベリーの逆理に基づく幾つかの不完全性定理の関係を明らかにした．次に，様相論理を用いて嘘つき型の逆理という概念を定めて嘘つき型の逆理に基づく算術の独立命題の存在を示した．また，ペアノ算術が矛盾する算術の超準モデル上でのペアノ算術の定理の集合を調べ，そのようなモデル上での算術の完全な理論の定義可能性を示した．さらに，不完全性定理の一般化を与えて，数学的証明の形式化とヒルベルトのプログラムの新たな関係を示した．

研究成果

• [雑誌論文] On proofs of the incompleteness theorems based on Berry's paradox by Vopenka, Chaitin, and Boolos (2012)
  • 著者名/発表者名: Makoto Kikuchi, Taishi Kurahashi, Hiroshi Sakai
  • 雑誌名: Mathematical Logic Quarterly 巻: 57 号: 4-5 ページ: 307-316
  • DOI: 10.1002/malq.201110067
  • 査読あり
• [学会発表] Σn 定義可能な算術の不完全性定理 (2015)
  • 著者名/発表者名: 倉橋太志，菊池誠
  • 学会等名: 日本数学会2015年度年会
  • 発表場所: 明治大学駿河台キャンパス（東京都・千代田区）
  • 年月日: 2015-03-22
• [学会発表] 状況理論としてのチャンネル理論 (2014)
  • 著者名/発表者名: 菊池誠
  • 学会等名: 科学基礎論学会秋の研究例会
  • 発表場所: 東京大学駒場キャンパス（東京都・目黒区）
  • 年月日: 2014-11-01
• [学会発表] 不完全性定理の構成的性質について (2014)
  • 著者名/発表者名: 菊池誠，渕野昌
  • 学会等名: 日本数学会2014年度秋季総合分科会
  • 発表場所: 広島大学東広島キャンパス（広島県・東広島市）
  • 年月日: 2014-09-27
• [学会発表] 算術の超準モデルにおける定理と証明について (2014)
  • 著者名/発表者名: 菊池誠，倉橋太志
  • 学会等名: 日本数学会2014年度秋季総合分科会
  • 発表場所: 広島大学東広島キャンパス（広島県・東広島市）
  • 年月日: 2014-09-27
• [学会発表] 嘘つき型の矛盾による不完全性定理の証明について (2013)
  • 著者名/発表者名: 菊池誠，倉橋太志
  • 学会等名: 日本数学会2013年度秋季総合分科会
  • 発表場所: 愛媛大学
• [図書] 不完全性定理 (2014)
  • 著者名/発表者名: 菊池誠
  • 総ページ数: 368
  • 出版者: 共立出版